中值定理

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第61页（1227字）

罗尔(Rolle)定理 如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f′(ξ)=0．

几何意义 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等．则在曲线弧上至少有一点C，在该点处曲线的切线是水平的(见图4．1)．

图4．1

拉格朗日(Lagrange)中值定理(微分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，则在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得

f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)．

几何意义

是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，则在曲线弧上至少有一点C，在该点处曲线的切线平行于弦AB(见图4．2)．

图4．2

柯西(Cauchy)中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且F′(x)在(a，b)内每一点处均不为零，则在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得

泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f(x)在含有x₀的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在(a，b)内时，f(x)可以表示为(x－x₀)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，即

称为f(x)按(x－x₀)的幂展开的n阶泰勒公式．其中(ξ是在x₀与x之间的某个值)称为拉格朗日型余项．当R_n(x)的形式取为R_n(x)=o((x－x₀)^”)时，称为佩亚诺型余项．

称为f(x)按(x－x₀)的幂展开的n次多项式

麦克劳林(Maclaurin)公式

常用函数的麦克劳林公式