行列式按一行(列)展开

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第265页（767字）

余子式 n阶行列式中，划去元素a_ij所在的第i行和第j列元素，剩余的元素按原来的次序组成的n－1阶行列式称为元素a_ij的余子式(剩余的子行列式)，记成M_ij．

代数余子式 令A_ij=(－1)ⁱ⁺jM_ij，称A_ij是元素a_ij的代数余子式．

例 设n阶行列式为

则

行列式按行展开 n阶行列式

等于其任一行元素与对应的代数余子式两两乘积之和，即

D=a_ilA_il+a_i2A_i2+…+a_inA_in (i=1，2，…，n)． (1)

(1)式称为D按第i行的展开式．

行列式按列展开 n阶行列式等于其任一列元素与对应的代数余子式两两乘积之和，即

D=a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj (j=1，2，…，n)．

定理 n阶行列式任意一行(列)元素与另一行(列)相应元素的代数余子式的两两乘积之和等于零，即当i≠k时，有

a_k1A_i1+a_k2A_i2+…+a_knA_in=0；

当j≠k时，有．

从而有