非齐次线性方程组

出处：按学科分类—数理科学和化学 清华大学出版社《数学手册（大学生用）》第322页（1188字）

非齐次线性方程组的表示形式

(1)一般形式

(2)向量形式

α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n=b，

其中 α_j=(a_1j，a2_j，…，a_mj)^T，b=(b₁，b₂，…，b_n)^T．

(3)矩阵形式

A_m×nx=b，

其中

A称为方程组的系数矩阵，且矩阵

称为线性非齐次方程组的增广矩阵．

有解条件 当r(A)＜r(A|b)时，方程组(2)无解，b不能由A的列向量组线性表示．

当r(A)=r(A|b)=n，(n是A的列数)，方程组(2)惟一解，b可由A的列向量组线性表示，且表示法惟一．

当r(A)=r(A|b)=r＜n，方程组(2)有无穷多解，b可由A的列向量组线性表示，且有无穷多种表示方法．

解的性质 设η^*是Ax=b的一个特解．ξ是对应的齐次方程组Ax=0的解，则k₁ξ+η^*仍是Ax=b的解．

设η₁，η₂都是Ax=b的解，则η₁－η₂是对应的齐次方程组Ax=0的解．

解的结构 方程组Ax=b的任何一个解η均可表示成Ax=b的一个特解η^*和一个对应的齐次方程Ax=0的解η－η^*之和，即

η=η^*+(η－η^*)．

方程组Ax=b的通解为

k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r+η^*．

其中η^*是Ax=b的－个特解，k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n－rξ_n－r是对应的齐次方程组Ax=0的通解．

求解方法

高斯消元法 将增广矩阵(A|b)通过初等行变换化成阶梯形矩阵，求出对应的齐次方程组的基础解系及通解(见齐次方程)，求一个非齐次方程的一个特解(可对自由未知量赋予任意的特定值，一般是赋予0值，求出独立未知量)，根据解的结构得到非齐次方程组的通解．