分析力学基础

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第90页（2163字）

3．5．1 分析力学的几个重要概念

约束和约束方程：对质点的位形和速度预先规定的限制条件称为约束。约束条件的数学表示式则称为约束方程。约束方程的一般形式为

，，，t)=0

f(x₁，y₁，z₁，

根据约束的具体形式，约束又可按不同的方法分成不同的两大类，见表1．2－24。

表1．2－24 约束的不同分类法

广义坐标及广义坐标的个数：唯一地能确定系统位形的一组独立变量称为系统的广义坐标。广义坐标通常用(q₁，q₂……q_k)表示。广义坐标的个数为

k=3n－S (1．2－49)

式中 n为系统的质点数；S为几何约束的方程数。

虚位移和自由度：在任一时刻t，系统在约束所容许的条件下，任何一个微小的位形改变称为系统的虚位移，而各质点在对应系统产生虚位移的同时，所共有的微小位移称为质点的虚位移，各质点的虚位移由于约束的存在，而互不独立。系统的独立虚位移的数目称为系统的自由度。对于完整约束系统，其自由度等于广义坐标的个数。

理想约束：全部约束力在系统任何虚位移δr上的元功之和恒等于零，则称系统受到的约束为理想约束。

广义力及其实用计算：设质点系为由n个质点组成的定常几何约束系统，其广义坐标为(q₁，q₂……q_k)，则对应于广义坐标qf的广义力定义为

式中 为作用于第i个质点的主动力；为第i个质点的矢径。广义力的实用计算见表1．2－25。

表1．2－25 广义力的实用计算法

3．5．2 虚位移原理

虚位移原理：受有双面理想几何约束的质点系，保持其静止平衡的充分必要条件，是作用于系统的全部主动力在任何虚位移上的虚功之和等于零，即

以广义坐标表示的虚位移原理：受有双面理想几何约束的质点系，保持其静止平衡的充分必要条件，是系统的全部广义力等于零，即

Q_j=0 (j=1，2，……k) (1．2－52)

在有势力作用下，系统平衡位置的性质：系统的势能在其平衡位置取驻值，此时如果势能取极小值，则该平衡位置为稳定的；若势能取极大值，则该平衡位置为非稳定的。

虚位移原理应用举例：如图1．2－17a)所示三铰拱，其水平力和铅垂力为已知，试用虚位移原理求支座C的水平反力(不计拱的自重)。

解：解除支座C的水平约束，以水平力代之，系统可视为图1．2－17b)所示机构。由运动学可知，图1．2－17b)中ADB只能作定轴转动。BC则可作平面运动，现设它们分别绕定点和瞬心发生一广义虚位移δφ₁和δφ₂，且有

考虑到，故可得δφ₁=δφ₂

视作用于ADB上，可得虚功方程

考虑到也成立，则有

即P_a+Q_a+X_c·2a=0，

图1．2－17 三铰拱

3．5．3 第二类拉格朗日方程

对于理想完整约束系统，拉格朗日方程为

式中 T为系统的动能的广义坐标及其导数的表达式；q_f为系统的第j个广义坐标；k为系统的自由度数；Q_f为系统对广义坐标q_f的广义力。

主动力为有势力时的拉格朗日方程为

式中 L=T－V，为系统动能与势能之差，称为系统的拉格朗日函数，或能势。

拉格朗日方程可以用来建立系统的不含理想约束反力的运动微分方程。

3．5．4 尼尔森方程

对系统动能T的运算存在以下交换关系：

其中q_j、q_j分别为系统的广义坐标和广义速度。

由以上关系，可得到与拉格朗日方程完全等价的两种型式：

其中式(1．2－56)称为尼尔森方程。