大型线性方程组求解

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第192页（1418字）

有限元程序用于求解工程问题时，单元网格剖分很多，组集成线性方程组〔K〕｛U｝=｛R｝的阶数很高。如何求解大型线性方程组，是有限单元法成功的关键。通常有两大类解法：直接法和迭代法。

(1)直接法

直接法在运算中产生舍入误差的积累，但运算次数较少，一般用于几千阶线性方程组的求解。直接法的解法种类较多，多数源出自高斯消去法。常用的有以下两种：

①三角分解解法：先将总刚矩阵〔K〕分解成二个三角形矩阵和一个对角矩阵的乘积，即

〔K〕=〔L〕^T〔D〕〔L〕

式中 〔L〕为单位上三角形矩阵；〔D〕为对角矩阵。

然后由〔L〕^T〔D〕〔L〕｛U｝=｛R｝式求得总体位移矢量｛U｝。令中间矢量｛V｝=〔D〕〔L〕｛U｝，则先用前消算法从〔L〕^T｛V｝=｛R｝式中求得中间矢量｛V｝，再用回代算法由〔L〕｛U｝=〔D〕^－1｛V｝求得总体位移矢量｛U｝。

②平方根法(乔利斯基Cholesky法)：先将总刚矩阵〔K〕分解为

〔K〕=〔L〕T〔L〕

式中 〔L〕为上三角形矩阵。

再由〔L〕^T〔L〕｛U｝=｛R｝求得总体位移矢量｛U｝。令中间矢量｛V｝=〔L〕｛U｝，则先用前消算法由〔L〕^T｛V｝=｛R｝求出｛V｝，再用回代算法由〔L〕｛U｝=｛V｝求得｛U｝。

(2)迭代法

迭代法是从某种“猜测”的初始迭代矢量｛U⁽⁰⁾｝开始，进行多次迭代，使迭代矢量序列｛U⁽¹⁾｝、｛U⁽²⁾｝、…逐步收敛于精确解。迭代法的每次迭代，都是从头开始运算，没有误差积累，只要增加迭代次数，就能得到需要的求解精度，故通常用于高度稀疏和对角线项占优势的上万阶线性方程组的求解。许多迭代法采用如下形式的迭代公式：

将总刚矩阵〔K〕化成二个矩阵之差，即

〔K〕=〔N〕－〔P〕

迭代公式为：

〔N〕｛U⁽ⁱ⁾｝=〔P〕｛U^(i－1)｝+｛R｝i=1，2。n。知道前一个迭代矢量｛U^(i－1)｝，就可以由上式算出下一个迭代矢量｛U^(t)｝。选择的〔N〕矩阵应该是非奇异的，并且使迭代公式易于求解。

①雅可比(Jacobi)迭代法：〔N〕矩阵是对角矩阵，用〔K〕矩阵的对角线项构成，即

则〔P〕=〔K〕－〔N〕．

②高斯——赛德尔(Gauss－Seidel)迭代法：取总刚矩阵〔K〕的下三角形部分形成〔N〕矩阵，即

而〔P〕=〔K〕－〔N〕

若规定求解精度为ε，则满足下列收敛性条件 j=1，2，…n

其中

就停止迭代，得到线性方程组的近似解｛U⁽ⁱ⁾｝