微分方程

出处：按学科分类—工业技术北京出版社《现代综合机械设计手册上》第380页（3404字）

2．2．1 建立微分方程

建立系统(或元件)微分方程的一般步骤：1．由系统或元件的工作原理，确定输入量和输出量；2．根据支配输出量与输入量内在联系的物理定律，按工作条件忽略一些次要因素并考虑相邻元件的彼此影响，列出运动方程式；3．消去运动方程中的中间变量，求得描述输出量与输入量关系的方程式。

例1．9－1 建立如图1．9－9所示齿轮传动系统运动方程。齿轮传动在控制系统中，通常用以实现减速、增大力矩或达到有效的功率转换。在图示齿轮传动系统中，各传动部件的转动惯量和粘性摩擦系数分别为J_，、B_1，J₂、B₂，J₃、B₃；轴的角位移分别为θ₁、θ₂和θ₃；令i₁和t₂为两级齿轮副的传动比，即i₁=θ₁／θ₂，i₂=θ₂／θ₃；M_c为负载力矩。取力矩M_r为输入量；Ⅲ轴转角θ₃为输出量，则各传动轴的力矩平衡方程式可列写成

又有 M₂=i₁M₁，M₄=i₂M₃；式中M₁、M₃分别为齿轮1、齿轮3所受的阻力矩，M₂、M₄分别为齿轮2、齿轮4的转动力矩。

图1．9－9 齿轮传动系统

消去上述各式中的中间变量θ₁、θ₂、M₁、M₂、M₃和M₄，并且将转动惯量和粘性摩擦系数折合到输出轴Ⅲ上，则有

式中 (1．9－4) (1．9－5)

(1．9－6)

它们分别为折算到输出轴上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数和等效力矩。

如果把齿轮传动系统各轴惯量、粘性摩擦系数及负载力矩折算到输入轴上，则有

式中 (1．9－8) (1．9－9)它们分别为折算到输入轴上的等效转动惯量和等效粘性摩擦系数。

2．2．2 微分方程的解

在工程中，广泛使用拉普拉斯变换解微分方程(拉普拉斯变换的性质及常用的简表见表1．1－15)。

例1．9－2已知系统的微分方程为

试求系统在输入，(t)=1(t)、初始条件c(o)=－1、c(o)=4时的时域解。

对方程(1．9－10)两端取拉普拉斯变换，则有

S²C(S)－Sc(0)－+3Sc(0)－3C(0)+2C(S)=

整理并将初始条件代入可得

将C(S)展成部分分式，则有

将各系数值代入式(2．2－12)，得

查表1．1－15对式(1．9－13)进行拉氏反变换，并整理得

式(1．9－14)右端的第一项对应于经典解法中非齐次方程的特解，它表示在输入信号作用下，系统达到平衡状态以后的变化规律，该规律取决于输入信号的形式，其大小与系统的结构参数有关，在控制理论中，将这部分解称为稳态分量。第二、三项对应于经典解法中齐次方程的通解，其变化规律取决于系统结构和参数，其大小与输入信号及初始条件有关。在控制理论中，将这部分解称为暂态分量。若以C_ss(t)表示稳态分量，C_ts(t)表示暂态分量，则系统时域解的一般形式为

C(t)=C_ss(t)+C_ts(t) (1．9－15)

2．2．3 控制系统的线性化及其方法

严格地说，构成系统的元件或多或少都有一定的非线性特性，因此系统几乎都是非线性的，所建立的系统运动方程也应该是非线性微分方程，由于用非线性方程研究系统比较困难，所以在工程中常常把某些非线性系统，在一定条件下将其处理成线性系统。把非线性系统处理成线性系统的过程，称为非线性系统的线性化。

机械系统中常见的非线性特性有：

①传动间隙。由齿轮或丝杠螺母副组成的传动系统中，经常存在有传动间隙Δ，如图1．9－10所示，使输入转角x_r和输出转角x_c之间呈滞环关系。

图1．9－10 间隙非线性

②死区，也称不灵敏区。在死区范围内，有输入而无输出动作，伺服电动机必须达到起动电压才能起动。死区特性如图1．9－11所示。

图1．9－11 死区非线性

③摩擦力。如机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力，图1．9－12(a)为干摩擦力(也称库伦摩擦力)，图(b)为粘性摩擦力。

图1．9－12 摩擦非线性

线性化方法一般来说有两种。一种是在不影响研究与分析系统性能的原则下，忽略某些非线性因素，将元件或系统视为线性的。例如上述建立的齿轮传动系统运动方程，就是忽略齿轮传动中的间隙等非线性因素后建立的线性方程。另一种方法，是把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开的方法进行线性化，即将工作点附近小范围的非线性特性采用线性模型近似。通常把这种方法称为小偏差线性化方法。例如图1．9－13所示系统特性，其运动方程为y=f(x)，图中x₀、y₀为系统的工作点。在工作点附近把非线性函数y=f(x)展成泰勒级数，即