线性规划

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第65页（1192字）

求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值的问题统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数z=f(x，y)取得最大值或最小值的解(x，y)称为最优解．

注意 若点(x₀，y₀)在直线l∶ax+by+c=0上，则ax₀+by₀+c=0，若点P不在l上，则ax₀+by₀+c≠0，但到底是ax₀+by₀+c>0?还是ax₀+by₀+c<0，若b<0或b>0，有类似的结论，总之，在直线l∶ax+by+c=0外任取两点P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，如果P、Q在l的同一侧，则ax₁+by₁+c与ax₂+by₂+c同号；若P、Q在l的异侧，则ax₁+by₁+c与ax₂+by₂+c异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．

利用“同侧同号，异侧异号”的规律很容易画出二元一次不等式ax+by+c>0(或ax+by+c<0)所表示的平面区域，进而画出二元一次不等式所表示的平面区域．

例1 画出不等式组

解

取O(0，0)代入x+2y—10，得x+2y—10=—10<0，故不等式x+2y10<0表示包含原点O的半平面，取(0，0)代入5x—3y—2，得5x—3y—2=—2<0，故不等式5x—3y—2≥0表示不包含原点O的半平面，且包含边界直线．

因此不等式组所表示的区域是上述两个区域的公共部分，如图所示．

例2 若x，y满足条件

x+2y的最大值和最小值．

分析 画出可行域，令x+2y=t并将其看做一组平行直线，而是直线在y轴上的截距．

解 由方程组，解得x=2，y=8．由方程组，解得x=—2，y=2．由方程组，解得，由题意作出可行区域．

作直线l∶x+2y=0，将l向上平移至过点A(—2，2)时z取最小值2；把l向上平移至过点B(2，8)时z取最大值18．

点评 画可行域时，先画出相应的几条直线，在确定最值时注意t的几何意义．