梯形中常添加的辅助线

出处:按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《初中数理化公式定理大全》第128页(4084字)

1.平移腰:过上底的一个顶点作一条腰的平行线,把梯形转化成一个三角形和一个平行四边形.如果是等腰梯形的话,那么三角形就是等腰三角形,它的底边是梯形上下底的差.

例1 以线段a=16,b=13为梯形的两底,以c=10为腰,则另一腰长d的取值范围是__.

答 7

[解析] 过D作DE∥AB交BC于E.

由题意可知:AD=13,AB=10,BC=16.

∵四边形ABED为平行四边形,∴BE=AD=13.

∴DE=AB=10.

∴CE=BC-BE=3.

在△CDE中,根据三边关系定理可知第三边CD的范围在7~13之间.

故7

例2 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90°,AB=4cm,CD=3cm,求BC-AD的值是多少?

解 过A作AE∥DC交BC于E点,

则∠AEB=∠C,AE=CD=3cm,AD=EC.

又∵∠B+∠C=90°,

∴∠B+∠AEB=90°.

即△BEA为直角三角形.

由勾股定理可知BE=5cm,

所以BC-AD=BC-EC=BE=5cm.

2.作高:过上底的顶点向下底引垂线,把梯形转化成两个直角三角形和一个矩形.如果是等腰梯形的话,那么这两个直角三角形全等.

例1 等腰梯形的上底、下底和腰分别为4cm,10cm和5cm,则梯形的高为__,面积为__.

解 如图,分别过点A,D作AE⊥BC,DF⊥BC,则有:BE=CF=3cm,所以AE=(cm).

所以梯形的面积为:

1/2×(4+10)×4=28(cm2).

例2 如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,BC=BD,AD=AB=4cm,∠A=120°,求梯形ABCD的面积.

解 过A作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,

∴AE∥DF.

又∵AD∥BC且∠A=120°,

∴∠ABC=60°,AE=DF.

∵AB=AD=4,

∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°.

在Rt△ABE中,得

在Rt△BDF中,

∴S梯形ABCD=1/2(AD+BC)·AE

=(12+4)cm2

3.延长两腰:把两腰延长交于一点,把梯形转化成两个三角形,如果是等腰梯形的话,那么这两个三角形就是等腰三角形,其中梯形的上下底分别是两个等腰三角形的底边.

例 在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠B=60°,BC-AD=6,求腰长AB.

解 延长BA、CD相交于点E.

∵AB=DC,

∴∠B=∠C,∴EB=EC.

又∵∠B=60°,

∴△EBC是等边三角形.

又∵AD∥BC,∠B=60°,

∴∠EAD=∠EDA=60°.

∴△EAD是等边三角形.

∴AB=EB-AE=BC-AD=6.

4.平移对角线:过上底的一个顶点,作一条对角线的平行线,与下底的延长线相交,把梯形转化成一个平行四边形和一个三角形,如果梯形是等腰梯形的话,那么这个三角形就是等腰三角形,它的底是梯形上下底的和.

例1 已知:梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,求证:(AD+BC)2=AC2+BD2

证明 过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.

又∵AD∥BC,

∴四边形ACED为平行四边形.

∴AD=CE,AC=DE.

又∵AC⊥BD,DE∥AC,

∴DE⊥BD.

∴△BDE是直角三角形.

根据勾股定理,得

BE2=DE2+BD2=AC2+BD2

即(AD+BC)2=AC2+BD2

例2 有一块梯形的钢板,标明的尺寸如下:

上底1m,下底4m,对角线AC,BD的长分别为3m和4m,工人师傅想知道它的高,但忘了带测量工具,你能告诉工人师傅这块梯形钢板的高吗?

解 方法:过D作DE∥AC交BC延长线于E.

∵AD∥BC,

∴四边形ACED为平行四边形.

∴AD=CE=1m,AC=DE=3m.

∵BC=4m,

∴BE=5m.

在△BDE中,BD=4m,DE=3m,BE=5m.

∴△BDE为直角三角形,∠BDE=90°.

∴BD×DE=BE×h.

所以这块梯形钢板的高为2.4m.

5.连接上底的一个顶点与另一腰的中点并延长,与下底的延长线相交,得到两个全等的三角形.

例 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求证:AE⊥BE.

证明 延长AE交BC的延长线于F.

∵AD∥BC,∴∠D=∠ECF.

又∵∠AED=∠FEC,DE=CE.

∴△ADE≌△FCE.

∴AD=CF,AE=EF.

∵AB=AD+BC,

∴CF+BC=AB=BF.

∴△ABF为等腰三角形.

∵AE=EF,

∴BE⊥AE.(等腰三角形三线合一)

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