直线和圆的位置关系

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《初中数理化公式定理大全》第168页（2087字）

直线和圆有三种位置关系：

1．直线和圆相交，即圆心到直线的距离d

2．直线和圆相切，即圆心到直线的距离d=r(半径)．

3．直线和圆相离，即圆心到直线的距离d>r(半径)．

注意 直线和圆的位置关系与圆心到

直线的距离d与半径r之间的数量关系可以相互转化．

例1 已知☉O的直径为13cm，直线l与圆心O的距离为d．

(1)当d=5cm，直线l与圆的位置关系是＿＿．

(2)当d=13cm时，直线l与圆的位置关系是＿＿．

(3)当d=6．5cm时，直线l与圆的位置关系是＿＿．

答 相交、相离、相切．

[解析] 根据d与r的数量关系判定直线l与☉O的位置关系．

例2 ☉O的直径是10，直线l与☉O相交，则圆心O到直线距离d满足＿＿．

答 0≤d<5．

[解析] 相交的特殊情况是直线过圆心时圆心O到直线l的距离d=0．

例3 ☉O的半径r=5cm，点P在直线l上，若OP=5cm，则直线l与☉O的位置关系是( )．

A．相离 B．相切

C．相交 D．相切或相交

答 D．

[解析] 当直线与圆相交，交点恰为P的话，则OP=5(半径)这种情况容易忽略．

例4 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB的中点O为圆心，r为半径作圆，则此圆与直线AC、BC都相离的条件是( )．

A．r>2．5 B．r<2

C．r<1．5 D．r<1

答 C．

[解析] 如图所示，过O分别作OM⊥AC于M点，ON⊥BC于N点，则OM、ON分别为△ABC的中位线，所以OM=1/2BC=2ON=1/2AC=1．5．

要使所作圆与直线AC、BC都相离，则r<1．5且r<2，也就是r<1．5即可．

例5 已知△ABC中，∠C=90°，，BC=2，以C为圆心画圆☉C．

(1)要使☉C与直线AB相切，求☉C半径．

(2)若☉C的半径为2，则☉C与直线AB的位置关系怎样?

(3)若☉C的半径为，则☉C与直线AB的位置关系怎样?

解 (1)过C作CD⊥AB于D点．

在Rt△ABC中

∵∠C=90°，BC=2，．

根据勾股定理可得AB=4．

∴AB·CD=AC·BC．

(点C到直线AB的距离)

要使☉C与直线AB相切，则半径r=CD=．

(2)当☉C半径r=2时，

∵2>，

∴☉C与直线AB相交．

(3)当☉C半径时．

∵，

∴☉C与直线AB相离．