平均数、中位数、众数的特征

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《初中数理化公式定理大全》第187页（3250字）

1．平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的平均水平．

2．计算平均数时，所有数据都参与计算，它能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响．如体操比赛评分时，个别评委不公正打分，将直接影响运动员的成绩．为此，一般去掉一个最高分和一个最低分，然后求其余得分的平均数作为运动员的得分．

3．中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小，但不能充分利用所有数据的信息．

4．一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量．如选举，就是选择名字出现次数最多的那个人，因而可以将当选者的名字当作众数，但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义．

综上所述：平均数、中位数、众数虽然都能刻画一组数据的“平均水平”，但在不同的情境中，应适当地选择某个数据来代表数据的“平均水平”．

例1 某小区有甲、乙两群人正在做团体游戏，两群人的年龄如下：(单位：岁)

甲：13 13 14 15 15 15 16 17 17

乙：3 4 4 5 5 6 6 6 54 57

解答下列问题：

(1)甲群人的平均年龄是＿＿岁，中位数是＿＿岁，众数是＿＿岁，其中能较好地反映甲群人均年龄特征的是＿＿．

(2)乙群人的平均年龄是＿＿岁，中位数是＿＿岁，众数是＿＿岁，其中能较好地反映乙群人均年龄特征的是＿＿．

答 (1)15 15 15．

平均数、众数或中位数．

(2)15 5．5 6．

中位数或众数．

[解析] 甲群人的平均数、众数、中位数都是15，因而这三个数都能反映甲群人的年龄特征

乙群人中，数据54，57和其他数据相差太大，使平均数不能反映一般水平，所以能较好反映乙群人年龄特征的是中位数或众数．

例2 下面是中国10个中心城市2003年城市居民最低生活保障标准一览表(单位：元/人，月)：

在平均数、众数、中位数这些特征数中，能反映这10个中心城市2003年城市居民最低生活保障标准的特征数是＿＿．(只需填写符合条件的一个即可)

答 平均数185或中位数182．5．

[解析] 由于本组数据的众数156只出现了2次，不能很好的反映10个中心城市居民最低生活保障标准，故只有用平均数或中位数来客观反映易算出平均数元．

中位数为182．5元，任选一个即可．

例3 如图，某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图，请你根据统计图给出的信息回答．

(1)填写完成下表：

这20个家庭的年平均收入为＿＿万元；

(2)样本中的中位数是＿＿万元，众数是＿＿万元；

(3)在平均数、中位数两数中，＿＿更能反映这个地区家庭的年收入水平．

答 (1)1，1，2，3，4，5，3，1，1．6．

(2)1．2，1．3．

(3)中位数．

[解析] 由于有极端值9．7的影响，平均数不能很好地反映这个地区的家庭年收入水平．

例4 在“元旦”期间，某购物广场张贴了一条巨幅海报．

小明的妈妈在此购物广场通过购物得到奖券一张，撕开后，发现奖金为20元，感到很失望，于是她又询问周围其他顾客的得奖情况，发现中其他奖的人几乎不多见，小明的妈妈感觉自己受了骗，于是找经理理论，经理出示了下面的这张奖金分配表，说明他们不存在欺骗行为：

好消息

为答谢顾客厚爱，本购物广场特举行“真心回报，消费有奖”的活动，本次活动共设奖金20万元，最高奖每份1万元，平均每份奖200元，每位顾客消费满500元就有机会获得奖券一张，中奖率为100%．

小明的妈妈通过计算，发现平均每份奖金确实是200元，商家广告的说法是没有错误的，她虽然不满意，但也无话可说．

(1)根据题中提供的信息，直接写出奖金的众数、中位数；

(2)请你分析商家广告没有错误的原因；

(3)请你运用所学的统计知识，分析小明妈妈感觉受骗的原因．

答 (1)奖金的众数为20元，奖金的中位数为20元；

(2)商家广告没有错误的原因：奖金的平均数确为200元，中奖率确为100%；

(3)小明妈妈感觉受骗的原因：小明妈妈只是将平均数200元理解成与众数和中位数一样的数据，而忽略了平均数受极端值的影响．

例5 初一年级某班教室内，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们三人的五次数学成绩如表1所示，这五次数学成绩的平均数中位数众数如表2所示：

表1

表2

现在这三位同学都说自己的数学成绩是最好的(1)请你猜猜他们各自的理由；(2)三人似乎都有道理，你对此有何看法?请运用统计知识作出确的分析．

答 (1)三人都从不同的角度看：小泉平均分最高认为数学成绩最好；小吉中位数最高认为数学成绩最好；小祥众数最高认为数学成绩最好；(2)平均数、中位数、众数是从不同的角度描述一组数据的集中趋势，平均数指的是数据的集中趋势；中位数指把数据按大小排列处在中间位置的数；众数指出现次数较多的数，就三人的成绩而言，小泉的成绩较稳定集中，趋势较好．