必然事件、不可能事件、不确定事件的概率

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《初中数理化公式定理大全》第196页（4389字）

必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1．

不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0．

如果A为不确定事件，那么0

例1 如图是一个转盘，它被等分成8个扇形，你能否在转盘上涂上适当的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动讨，同时满足以下的条件：

(1)指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同；

(2)指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率；

请你设计出满足条件的一个方案，并分别求出此方案中以上三种颜色的概率．(注：若没有彩笔，可在图上写出颜色类型)

答 (1)可以涂1红，1黄，2蓝(或3蓝等)；也可以涂2红，2黄，3蓝(或4蓝)．

(2)以前一种为例，则P_(红)=1/8，P_(黄)=1/8，P_(蓝)=1/4或3/8

例2 我市大部分地区有个习俗，吃年夜饭时，谁吃到包有糖果的饺子，谁在新的一年里就会顺顺当当、红运当头，当然，有糖果的饺子只有1只，否则就不灵了，今年小明的外婆在他家过年，外婆在60个饺子中的1个饺子里放了糖果，并给每人盛了15个饺子，结果爸爸、妈妈和外婆都没有吃到糖果，被外婆称之为“宝贝儿”的小明却吃到了．

请根据上述信息，简要解答下列问题：

(1)如果此游戏具有公平性，吃一个饺子就能吃到糖果的概率是多少?小明能吃到糖果的概率又是多少?

(2)事后小明了解到：之所以他能吃到糖果，是因为外婆做了手脚，在此前提下，求小明吃第一只饺子里有糖果的概率是多少?并设想和简要分析外婆做手脚的方法．

(3)还是4个人共吃60个饺子，且只有1个饺子中放有糖果，请你设计一个办法能使妈妈和外婆吃到糖果的概率都为1/3．

答 (1)吃一个饺子能吃到糖果的概率是1/60，“小明”能吃到糖果的概率是1/4

(2)“小明”吃第一只饺子里有糖果的概率是1/15，外婆把包有糖果的饺子做了记号，特意放在小明碗里．(理由合理即可)

(3)只需保证爸爸或小明碗里没有放糖果的饺子即可．(理由合理即可)

例3 准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另取一张纸片上画一个正方形，如果将三这张纸片放到一个盒子里搅匀，那么随机抽取两张纸片，可拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片)，也可拼成一个房子(取出的是一张画三角形，一张画正方形的纸片)，这个游戏的规则是这样的：若拼成一个菱形，甲赢：若拼成一个房子，乙赢，你认为这个游戏公平吗?用你的数据说明你的观点．

答 不公平．

从3张纸片中抽取2张，共有3种可能性(2张三角形；一张三角形，一张正方形；另一张三角形，一张正方形)，而拼出菱形，只能是2张三角形，即1种可能性．

拼出房子需一张三角形，一张正方形，2种可能性，所以P(拼成菱形)=1/3，P(拼成房子)=2/3．

例4 小明和小亮星期天去公园游玩，被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图，交一元钱玩十次，每次掷三个骰子，在掷骰子之前，自己先决定按正数还是反数，然后找到点数和，从这个数开始，数到与点数和相同个数的位置，凡数到17这个位置的交摊主3元钱，数到其他位置的得相应钱数，请你从概率的角度，并结合实际图形，说明小明和小亮若玩这种游戏能赢吗?

答 不能赢．

因为，若掷出9个点和17个点不论正数还是反数必输；若掷出其他点数，输赢的概率各为1/2；但输时交3元钱，而赢时只得1元钱，其他钱数无论掷出多少点数都得不到；因此，掷的次数越多，输的钱越多．

例5 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等分，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，这10个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．

游戏规则如下：两人参加游戏，一个转动转盘，另一人猜数，若猜的数的结果与转盘转出的数字相符，则猜数的人获胜，若结果不相符，则转动转盘的人获胜，猜数方法从下面三种中选一种：

(1)猜是奇数还是偶数；

(2)猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；

(3)猜“是大于6的数”或“不大于6的数”．

如果你是猜数者，为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法，怎样猜?为什么?

答 猜(2)中的“不是3的倍数”．

[解析] (1)中10个数奇、偶各半，故可能性一样，均占1/2．

(2)中10个数3的倍数有3个，占3/10，不是3的倍数有7个，占7/10，可能性较大．

(3)中大于6的数有4个，占4/10，不大于6的数，有6个占6/10，故7/10最大，获胜机会最大．

例6 利用下面两排数做游戏，游戏的方法是：甲、乙分别掷一枚骰子，几点朝上就从对应的那个数后面的数开始向后数几个数，(如甲掷骰子3点朝上，甲从4开始数三个数对应的数就是6)．如果对应的数是偶数就得1分，如果对应的数是奇数就不得分，问这种游戏对甲、乙二人是否公平?为什么?

甲：

乙：

答 不公平．

[解析] 1．观察上面两排数可以看出当甲投出骰子，不论几点朝上，他得到的数都是偶数，即P_甲(偶数)=1；而乙投出的骰子，不论几点朝上，他得到的数都是奇数，即P_乙(偶数)=0，所以P_甲>P_乙，游戏不公平．

2．几个人玩的一种游戏，对所有人是否公平，关键就看这几个人赢的概率是否相等．

例7 某超市为了促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球，2个白球和12个黄球，并规定：顾客每购买50元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会，如果摸到红球、白球或黄球，顾客就可以分别获得一把雨伞、一个文具盒、一枝铅笔，甲顾客购此新品牌商品80元，他获得奖品的概率是多少?他得到一把雨伞、一个文具盒、一枝铅笔的概率分别是多少?

答 P(获得奖品)=1．

例8 如图，一个均匀的正二十面体骰子，其中一个面标有1，两个面标有2，三个面标有3，四个面标有4，五个面标有5，其余的面标有6，将这个骰子抛掷．

请你计算，1－6各个数字分别朝上的概率．

[解析] 标有6的面共5个．

例9 一天，小李和小王玩一个游戏，游戏规则是：将分别写有数字1、2、3、4、5的五张卡片先放在一个盒子里搅匀，然后随机抽取两张，把这两张卡片上的数字相加，如果其和为奇数，则小李获胜；如果其和为偶数，则小王获胜，你认为这个游戏公平吗?如果不公平，谁容易获胜?请说明理由．

答 不公平，小李容易获胜．

因为1、2、3、4、5这五个数两两相加的和有10个，它们分别是3、4、5(两个)、6(两个)、7(两个)、8、9，而这十个和中有6个奇数，4个偶数．因此，小李容易获胜．

例10 如图，某商场为了促销商品，推出一种促销活动，凡在该商场购物满500元，可以参加一次摇奖活动，满1000元，可以摇两次，以此类推，摇奖用的转盘是被平均分成24等份的圆盘，指针指向哪一块则这块的灯就亮，灯又分成三种颜色，红、绿、黄，红灯亮可获一等奖，奖品为25英寸彩电一台；绿灯亮获二等奖，奖品为微波炉一台；黄灯亮获三等奖，奖品为电吹风一台．

规则：(1)所转方向不限；(2)转盘必须转两圈以上；(3)转的过程不允许任何人接触转盘；(4)必须等转盘完全停止且灯亮为止请你计算出分别获取一、二、三等奖的概率．