投入产出数学模型

出处：按学科分类—经济 山东人民出版社《简明经济百科辞典》第896页（952字）

根据投入产出原理建立的一类数学模型，其中最常用的是静态投入产出模型。

按行

X₁₁+X₁₂+…+X_1n+y₁=X₁

X₂₁+X₂₂+…+X_2n+y₂=X₂…………………………… (1)X_n1+X_n2+…+X_nn+y_n=X_n

即

式中，x_ij为j部门生产对i部门产品的消耗量；y_i为i部门的最终产品；X_i为i部门的总产值。

令

所以x_ij=a_ijX_j (2)

式中，aij为i部门生产单位产品对i部门产品的消耗量，叫做直接消耗系数，即纯部门平均消耗定额。

把(2)式代入(1)式，得到：

a₁₁X₁+a₁₂X₂+…+a_1nX_n+y₁=X₁

a₂₁X₁+a₂₂X₂+…+a_2nX_n+y₂=X₂

…………………………… (3)

a_n1X₁+a_n2X₂+…+a_nnX_n+y_n=X_n

(3)式可以写成向量矩阵形式：

AX+Y=X

移项得到：

X－AX=Y

(Ⅰ－A)X=Y

所以 (I－A)^－1Y=X (4)

按列

A′X+V+M=X (5)

式中，A′为A的转置矩阵；V为劳动报酬；M为剩余产品。

移项得到：

X－A′X=V+M

(Ⅰ－A′)X=V+M

所以 (Ⅰ－A′)^－1(V+M)=X (6)