公理化方法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第53页（2094字）

一种构造理论体系的演绎方法。

包括两个要点：第一，它在一个理论中明确区分了初始概念和被定义概念，出发命题(即公理)和被证命题(即定理)；第二，它明确规定了演绎的规则。运用这些规则于公理和已证定理，就可以证明新的定理，从而构造整个理论系统。

用公理化方法构造的演绎系统，称为公理系统。

公理化方法因公理而得名。

公理，具有古典的含义和现代的含义，二者不尽相同。公理的古典含义要求作为公理的命题比理论中的其他命题更具有明显的真实性，以至可以被接受为不证自明。

这里诉诸的是人们的经验、直觉。列宁所说的逻辑的格经过人们千百万次的实践而具有公理的意义，指的乃是公理的古典含义。非欧几何的产生，向这种公理观提出了挑战。非欧几何的第五公设是完全违背人们的经验和直觉的，然而，它仍不失为是一个和欧氏几何同样严格的公理系统的公设!公理的现代含义不再诉诸人们的经验和直觉，而主要依据公理集的某些特定的性质，这些性质主要是：第一，一致性，即不会推出矛盾；第二，独立性，即公理之间不存在推导关系；第三，完全性，即可以推出理论中的一切真命题。一致性有关公理的采用是否合法；独立性有关公理的采用是否经济；完全性有关公理的效用，即推演能力。一个理论的公理集最好能同时满足这三条，也可以不满足独立性或完全性，但不能不满足一致性。

公理从古典含义向现代涵义的演变，反映着从实质公理化向形式公理化的发展。公理化方法的历史发展，经历了实质公理化、概括公理化、形式公理化和完全形式化这样几个阶段。

实质公理化的特点是，本系统所要处理的对象或论域先于初始概念和公理而给定，并且这样的论域是唯一的。也就是说，初始概念和公理自身就表示特定论域中特定对象及其关系。

着名的欧几里得的《几何原本》就是一个实质公理化系统。它在概念、公设、公理之前预设了欧氏空间(即人们的感性直观所把握的空间)的几何问题作为自己的对象和论域。

非欧几何的产生标志着公理化方法的重大变革。非欧几何表现了逻辑演绎的神秘的魅力，它是用欧氏几何第五公设的反对命题置换第五公设，加上欧氏几何原有的其他概念、公理、公设，以此为出发点演绎出来的体系。

这也是公理化系统，但它虽然有别于实质公理化系统，因为它在演绎出自身以前没有预设任何对象和论域。

事实上，它的创造者在构造它的时候根本就不相信会有现实的对象作为它的论域；人们构造它，只是想在它身上引出矛盾，以此来证明第五公设在欧氏几何中的非独立性即可证性。

非欧几何是纯演绎的产物，在它作为理论形态产生出来以后很久，人们才找到它的现实模型。这使人们开始摆脱感性直观的束缚，把视野从直观空间扩展到抽象空间。

人们开始认识到，公理系统的本质力量在于它的逻辑结构。一个公理系统，只要有正确的逻辑结构，不管它直观上看来多么难以接受，不管它暂时能否找到现实的模型，它都是成立的，并且总会找到现实的模型。也就是说，公理系统凭借逻辑的力量，反映着比对象世界的内容联系更为深刻和抽象的东西，这种东西，就是对象世界的形式结构，即逻辑结构。同一公理系统，完全可以刻画内容不同的对象世界，只要它们具有共同的逻辑结构。于是，形式公理化就产生了。非欧几何还不是形式公理化系统，它体现着实质公理化向形式公理化的过渡，人们习惯于称之为概括公理化。

形式公理化系统和实质公理化系统的主要区别有两点：第一，后者预设论域，前者不预设论域；第二，后者只刻画唯一的对象域，前者可以刻画多个不同的对象域。

希尔伯特在1899年出版的《几何基础》一书，构造了一个典型的形式公理化系统。

在《几何基础》中，作为初始概念，也沿用了《几何原本》中的“点”“线”“面”这样一些概念；作为出发公理，也沿用了《几何原本》中的一些公理或公设。但是，这些初始概念，在《几何原本》中是加以定义的，在《几何基础》中是不加定义的，也就是说，没有任何具体涵义。希尔伯特本人对此风趣地说，完全可以把他的“点”“线”“面”，称为“桌子”“椅子”“啤酒杯”。而那些出发公理，在《几何原本》中作为公设表现出对象间的某种具体关系，在《几何基础》中则仅仅表示概念间形式上的关系。

这样，《几何基础》不仅能刻画欧氏几何，而且通过不同的解释，能刻画不同的对象域。事实上，《几何基础》不但有几何模型，也有算术模型。

形式公理化系统还不是完全形式化的公理系统，因为它使用的还是自然语言，命题之间的推导还要依赖自然语言所赋予的意义上的联系。而现代逻辑的形式系统所使用的是形式语言。

在形式系统中，概念成了符号、命题成了公式，推导成了公式的变形，一切意义都抽象掉了。形式系统是完全形式化了的公理系统。