判别分析法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第70页（1026字）

设有K个总体，记作G₁，…，G_k，每个总体都是P维的随机向量，P≥1为整数。

对于一个给定的个体，个体的指标是P维向量，通过指标来判断个体来自于哪一个总体的方法称作判别分析法。

解决上述判别问题的方法有多种，重要的有距离判别，贝叶斯判别，费希尔判别，逐步判别等。

距离判别的基本思想是，在个体与总体之间定义某种距离概念，个体到哪个总体的距离最小就判为来自于哪个总体。例如，考虑两个总体的情形，设G₁，G₂是两个正态总体，有相同的协差阵V，它们的分布分别是p维正态分布N(μ⁽¹⁾，v)，N(μ⁽²⁾，v)，μ⁽¹⁾，μ⁽²⁾均为p维向量。设y是给定个体的指标，也是p维向量。在y与G₁，G₂之间定义马氏距离(在正态等协差阵情形下，可以证明其它的距离与马氏距离等价)，即

d²(y，G₁)=(y－μ(1))^τv^－1(y－μ⁽¹⁾)

d²(y，G₂)=(y－μ⁽²⁾)^τv^－1(y－μ⁽²⁾)

判别规则为：当d(y，G₁)≤d(y，G₂)时，判为y∈G₁，否则判为y∈G₂

贝叶斯判别的基本思想是，选择p维空间R_p的一个分划D₁，…，D_k(即D_i，D_j互不相交，且)，当y∈D_i时，判为y来自于总体，使得平均损失达到最小。

设总体G_i的分布密度为Pi个总体出现的先验概率为q₁，…，q_k。用L(i，j)表示个体来自G_i而误判为G_j的损失，则平均损失为

贝叶斯判别就是选择D₁，…，D_k使g达到最小值。

贝叶斯判别是最常使用的一种判别法。

费希尔判别首先要找出费希尔准则的判别函数，一般使用线性判别函数，然后利用判别函数制订判别规则。

逐步判别的基本思想是，从P维指标y中逐步筛选出几个提供重要信息的分量来，剔除那些不重要的分量，利用筛选出的重要分量构造判别函数，再进一步制定判别规则，逐步判别的计算量一般都很大，要在机算机上实现。