分部求和方法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第154页（1044字）

也叫阿贝尔方法。

它是函数论和数论中的重要方法。它所研究的主要对象是形如的级数或积分，由此方法所得到的收敛性判别法，往往能避开绝对收敛这种粗糙的估计，而是充分利用了变号级数或积分中相互抵消这一重要因素，因而这种方法有极为广泛的应用，并可得到相当深刻的结果。分部求和方法的理论根据就是下面简单的分部求和公式。

分部求和公式，设，

则

如果定义函数

则上述分部求和公式(1)可以写成下面重要的形式

这里已假定(2)式右端积分及b’(x)的存在性。

分部求和公式(1)的基本思想是：对于序列a₁，a₂，…，及b₁，b₂，…记s_n=a₁+a₂+…+a_n及△b_n=b_n+1－b_n，则的总和便可通过s_n·△b_n的总和来表示，即从而可以利用序列｛S_n｝和｛△b_n｝的性质来估计或判断变量存在的范围及其性质，由此便可得出一系列判断级数(特别是变号级数)收敛性的精密而深刻的判别法。例如，用分部求和法可以得到级数的阿贝尔判别法，狄利克利判别法，此外，还可得到以下重要的判别法：①设级数若收敛，存在，则级数收敛；②若绝对收敛，收敛，则a_nb_n收敛；③若绝对收敛，，且b_n=0(1)，则收敛；④若数列｛b_n｝单调下降趋于0，则级数收敛，这就是莱伯尼兹判别法。

分部求和公式(2)则是利用s(x)，b’(x)的性质以及积分来估计或推断变量的性质及其范围，同样也有极其广泛和重要的应用。

从分部求和公式(1)容易得到重要的阿贝尔引理：设｛b_n｝是递减的正数序列，若，(n=1，2，…)，则对任何自然数n，有

阿贝尔引理是分部求和方法的重要组成部分，其深刻的含义在于：只利用单调下降正数序列的首项这一个数以及｛a_n｝部分和的上下界就能控制和的变化范围：应用它，就可以得到着名的阿贝尔连续性定理：设，则等。

对于积分也有完全相似的结果。