样条插值法

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第246页（721字）

在〔a，b〕上给定分划π：a=x₀1<…n=b，若函数S(x)在每一个小区间〔x_j－1，x_j〕上是k次多项式，且在内点x₁，x₂，…x_n－1处诸导数连续，则称S(x)为对应于分划π的k次多项式样条函数｛x_j｝称为样条结点。

样条函数的应用极广，现以三次样条函数为例说明它在插值方面的应用。

三次样条插值是指：寻求一个三次样条函数S(x)，使其满足：

插值条件：S(x_i)=y_i，i=0，1，…，n (1)

及下列边界条件之一：

S’(x₀)=y’₀，S′(x_n)=y’_n (2)

或 S”(x₀)=y”₀，S”(x_n)=y”_n (3)

或S⁽¹⁾(x₀)=S⁽¹⁾(x_n)，1=0，1，2 (4)

其中数组为给定的已知数据。

则三次样条插值问题的解为：

其中，对应于边界条件(2)，｛M_j｝满足方程组：

对应于边界条件(3)，｛M_j｝满足方程组：

对应于边界条件(4)，｛M_j｝满足方程组：