薛定谔方程

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第288页（1053字）

既然微观粒子体系的状态要用波函数来描述，那么，如何能够得知某一体系，譬如绕氢原子核运动的电子的波函数呢?这一问题类似于宏观体系中，已知某一时刻质点的坐标和动量求任一时刻质点的坐标和动量，解决这一问题的基础是牛顿运动方程

式中F是作用于质点上的力，m是质点的质量，x是质点的坐标，t是时间，这一方程不是由其它更基础的定理，定律通过数学演绎或逻辑推理的方法得来的，而是从实验中总结、概括出来的，其正确性要靠由此推出的结论是否与实验相一致来判断。

对于微观粒子，自然也应该有一个其作用类似于牛顿运动方程，用来描述体系随时间变化规律的方程。波函数ψ(q，t)随时间的变化规律要由薛定谔方程

来描述。式中i是虚数，，h是普朗克常数，t是时间，m_i是第i个粒子的质量，v是体系的势能，是表示下列运算的符号

称为拉普拉斯算符。

对于单个粒子体系，上述薛定方程简化为

同牛顿方程一样，描述微观粒子基本运动规律的薛定谔方程也是客观规律，也不能根据其他定理、定律通过逻辑推理和数学演绎的方法得到，而只能从科学实验中概括出来，其正确性只能由实验来验证，只是不象牛顿方程那样直观。

实验证明薛定谔方程是正确的。

对于定态，可以证明定态波函数所满足的方程是

式中E是体系的能量，对于单粒子体系，上式简化为

为区分起见，将ψ(q，t)满足的方程称为包含时间的薛定谔方程，而将定态波函数ψ(q)所满足的方程称为定态薛定谔方程

常将包含时间的薛定谔方程写成

式中称为哈密顿算符，对于n个粒子体系，

对于单粒子体系

采用哈密顿算符，定态薛定谔方程可写为