生产函数

出处：按学科分类—自然科学总论 山东人民出版社《方法大辞典》第420页（1064字）

表示生产过程中各种投入与产出之间技术关系的函数。

为了进行生产，必须不断地将设备、人力等生产要素投入生产过程，并以一定的方式将它们组合起来。生产函数的一般数学形式为：

Q=f(k，l，t，etc)

式中，Q表示产出，它可以是实物量，也可以是价值量；可以是总产值，也可以是净产值。K表示投入的资本量，一般以价值量表示，有时也可以用实物量近似表示。如在农业生产函数中用拖拉机台数，或农业机械的马力数近似表示农业生产函数中的固定资产。

l表示投入的劳动量，可以用职工人数表示，也可以用工时数表示。t为技术进步系数。

etc为其他因素，视生产函数的具体情况，它可以是能源、原材料、气候指数等。

常用的生产函数形式有柯布——道格拉斯型、列昂惕夫型和不变替代弹性型。

按照描述的范围，生产函数可以分为企业生产函数和总体生产函数。

生产函数的三个主要问题是规模报酬水平、生产要素的替代性和技术进步。

规模报酬水平是生产函数的齐次性阶次，

即 Q=F(hk，hl)=h^D·F(k，l)

式中，D表示投入的各种要素都增长h倍时，产出增长了h^D倍。D=1，规模报酬不变，产出与投入按同一比例增长；D＞1，规模报酬递增，产出增长的倍数高于投入增长的倍数；D＜1，规模报酬递减，产出增长倍数低于投入增长倍数。

生产要素的替代性是指生产过程中用一种生产要素去替代另一种生产要素的可能性。通常，它用边际替代率R和替代弹性λ来衡量。它们的定义如下：

边际替代率R是劳动力和资本边际生产力之比。

替代弹性是生产要素比例的相对变化与边际替代率相对变化的比值。λ=0，表示两种生产要素不能替代；a=1，表示生产要素比例的相对变化等于边际替代率的相对变化。

由于技术进步，在同样的投入数量下，能够得到比原来更多的产品，生产函数中，用技术进步系数t来衡量技术进步的快慢，这时柯布——道格拉斯生产函数的形式为：

Q=AK^αL^β·e^t

用这个公式可以计算出技术进步对生产增长的贡献。