平稳性

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第263页（991字）

任一时间序列y₁，y₂，…，y_T可被认为由一组已知联合分布的随机变量或随机过程生成。

例如，一组数据y₁，y₂，…，y_T是一个联合概率分布函数p(Y₁，…，Y_T)的某一特定结果。类似，一个未来的观察y_T+1可被认为由条件概率分布函数p(Y_T+1|Y₁，…，Y_T)生成，p(Y_T+1|y₁，…，y_T)也就是给定过去观察y₁，y₂，…，y_T下随机变量Y_T+1的概率分布。

定义严格平稳过程为其联合分布和条件分布都随着时间的位移而不变的过程，其生成的时间序列为严格平稳的。换言之，如果随机过程Y_t是严格平稳的，则p(Y_t，…，Y_t+k)=p(Y_t+m，…，Y_t+k+m)且p(Y_t)=p(y_t+m)，对任何t，k，m成立。如果仅仅随机过程的数学期望、方差、协方差与时间t无关，则称之为宽平稳的，其生成的时间序列为宽平稳的。

注意到，如果过程Y_t是严格平稳的，则序列的数学期望μ_y=E(Y_t)是个常数。进而，过程的方差σ#=E[(Y_t－μ_y)²]是个常数。序列滞后k期的协方差γ_k=Cov(Y_t，Y_t+k)=E[(Y_t－μ_y)(Y_t+k－μ_y)]也与t无关。

所以，严格平稳的时间序列一定是宽平稳的，反之不然。

因为平稳的时间序列的随机特征在不同时间是不变的，所以可用固定系数的方程来将时间序列模型化，而方程的系数可由序列的历史数据估计得到。

这类似于单方程回归模型，在回归模型中解释变量与被解释变量相关，在假定方程所描绘的变量之间的结构关系随时间不变的前提下，估计出系数。

如果一个时间序列是严格平稳的，则概率分布P(y_t)关于t是一样的，因而它的形状(或至少某些性质)能够由观察数据y₁，y₂，…，y_T的直方图推断出来。

随机过程的数学期望μ_y可由序列的样本均值#=#y_t来估计，且方差σ#可由样本方差σ#=#(y_t－#)²来估计。

在经济邻域遇到许多时间序列都不是由平稳过程产生的。例如，国民生产总值GNP几乎随时间而稳定增长。单单这个理由就可认为1999年它的随机性质是相当不同于1993年的，但绝大多数非平稳过程通常可转化为平稳或近似于平稳的过程。