统计决策

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第852页（959字）

用博弈论(对策论)的观点处理统计问题，做出判决。

若用Ω表示研究的客观对象可能处的状况，称为状态空间。Ω中的每一个元素ω即确定对象的一种状态；用A表示人们可能做出的判断的全体，称为决断空间。

A中每个元素a表示一种判断。

对于某种状态ω做出判断a时，可能正确，也可能错误。用二元函数L(ω，a)衡量做出错误判断时相应的损失，其定义域是抽象空间Ω×A。由于判断是依赖于试验结果的某向量x=(x₁，x₂，…，x_n)的，判断a即为x的函数a(x)。

若x的分布密度是p(x|ω)，则损失函数的期望值

Eω(L(ω，a(x)))=∫L(ω，a(x))p(x|ω)dx称为风险函数，它反映出当对象处于ω状态时，人们采取a(x)这种判断规则所付出的平均损失。a(x)常称为统计判决函数。统计的目标是追求好的决策，使其风险尽可能小。

判断一个统计判决函数的好坏，有各种不同的优良标准，最基本的是容许性。

即如果判决函数a(x)、b(x)，有关系

Eω(L(ω，a(x)))≤Eω(L(ω，b(x)))

对一切ω∈Ω成立，则称a(x)不次于b(x)；如果上式中不等号至少对Ω中的某一个ω成立，则称a(x)优于b(x)，表明不应当采用b(x)，b(x)就称为不容许的。如果不存在优于b(x)的判决函数，就称b(x)是容许的。

与容许性相联系的是完全类的概念。因为不容许的判决函数没有意义，故只需考虑全部的容许的判决函数。如果任给一个判决函数δ(x)，在判决函数集合C中总有一个d(x)，是不次于δ(x)的，则C就称为一个完全类。出于稳妥的考虑，统计上常考虑到最不利情况的出现，并要求最不利情况下尽可能好的一种策略，即应选一个判决函数d(x)使相应的最大风险损失SUPEω(L(ω，d(x)))尽可能地小，即存在d(x)，使得

则称d(x)是相应统计问题的最小最大解(Minimax)，是稳妥观点下的最优策略。