对偶原理

出处：按学科分类—自然科学总论 天津人民出版社《自然辩证法辞典》第234页（581字）

数学中的原理之一。

指数学中某些成对的概念，从它们本身的含义而言是很不相同的。但从某种抽象规律或性质去看，不仅是一一对应的而且可以说是完全一致，如果能够根据某种规律或性质，证得成对概念中一个具有性质A，那么另一概念也必须具有性质A的原则。对偶原理的思想最早始于射影几何学。以下仅以平面上的对偶原理为例加以说明。

几何上，点与直线是两个完全不同的概念。但在射影几何中，当添加上“非固有元素”(即无限远点、无限直线等)后，点与直线的结合关系上(即点在直线上、直线通过点等关系上)则处于完全相同的地位。已经证明，在射影平面上，可以确立关于点与直线的对偶原理。这样，在射影平面上，如果将一个关于点与直线结合关系的定理中的点和直线互换，就能得到一个与它对偶的定理。例如，命题：“属于两条不同直线a、b，有一个且只有一个点A”成立。如果将此命题中的点与直线互换，则有命题：“属于两个不同点A、B，有一条且只有一条直线a”也成立。

因此对偶命题是相互的。射影几何中，点与直线结合关系对偶原理的确立，关键在于在射影平面中引进了“非固有元素”，所以某一定理存在对偶定理是相对的有条件的。

如果在数学的某一分支中，能确立对偶原理，那将是一件非常有意义的工作。因为如果能证得该学科中的一个有关定理，则立刻得到它的对偶定理，一举两得，事半功倍。