数学猜想

出处：按学科分类—自然科学总论 天津人民出版社《自然辩证法辞典》第890页（1233字）

亦称“数学猜测”、“数学假设”等。

是数学研究的一个重要的科学方法，也是数学发展的一种重要思维形式。它是根据某些已知的事实材料和数学知识，通过理论思维的能动作用，对未知的量及其关系所做出的一种猜测性的推断。这种推断的真伪性问题，一般说来，是难以一时解决的。

数学猜想既有一定科学性，又有某种假定性，是科学性与假定性的辩证统一。

提出数学猜想的方法主要有：不完全归纳法，如哥德巴赫猜想等；类比法，如魏尔猜想等；减弱条件法，如孪生素数猜想等；从猜想到猜想，如康托尔(Cantor，G)提出“连续统假设”之后，人们假定它是正确的条件下，又推出82个推论，这些推论即是从猜想中得到的新的猜想等。解决数学猜想的主要途径有：(1)举例否定，即对某一数学猜想，若能举出一反例，则该猜想便被否定了。例如，1664年费尔玛猜想：对任何自然数n，形如f(n)=2²ⁿ+1的数都是素数。1732年欧勒举出f(5)=2²⁵+1是合数这一反例便否定了上述猜想。

(2)逐次逼近，即对一些重大难题先证明其减弱的命题，然后逐步逼近之。

例如，哥德巴赫猜想自1742年提出后，数学家们陆续做出越来越接近于最后解决的成果(以系数=(1+1)来表示)：自1924年到1973年，先后证明系数=(7+7)、(6+6)、(5+5)、(4+4)、(3+3)、(2+3)、(1+5)、(1+4)、(1+3)、(1+2)。

(3)机器证明，即用电子计算机证明数学猜想的真伪性。例如，1840年默比乌斯提出“四色猜想”，1976年阿佩尔和黑肯利用电子计算机证明了这一猜想的正确性。

研究数学猜想是解决数学理论自身矛盾和疑难问题的一个有效途径，它对数学的发展有着重要意义。如果某一数学猜想被证明是正确的，它便转化为数学理论，增添了数学成果；有时即使一个数学猜想未获最后解决，但在研讨过程中亦可获得一些其它方面的成果，同样丰富了数学的内容。例如，1637年费尔玛猜想：不定方程xⁿ+yⁿ=Zⁿ没有正整数解，其中n为大于2的整数。后经3百多年的试证，至今仍未解决，但在试证过程中建立起来的“理想数论”，却成了许多数学分支的重要工具。

研究数学猜想还具有重要的方法论意义，通过这一研究，一方面可以使我们更深刻地了解创造性思维在科学方法形成中的重要作用，加深对科学方法产生和发展规律的认识；另一方面，数学猜想作为科学假说在数学中的具体表现，又深刻地反映了数学发展的相对独立性以及数学理论相互导出的合理性。恩格斯说：“数学上各种数量的明显的相互导出，也并不证明它们的先验的来源，而只是证明它们的合理的相互关系”(《反杜林论》第35页)。由数学猜想转化为数学理论，是各种数量关系相互导出合理性的生动体现。正因为如此，数学家从数学理论自身的体系中提出一些数学猜想，才具有科学的预见性。

1900年希尔伯特提出的“希尔伯特猜想”(即希尔伯特23个问题)，在一定程度上影响着20世纪以来数学的研究方向。