Klein群的有限性定理

书籍:现代科技综述大辞典上 更新时间:2018-11-16 21:23:34

出处:按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第22页(2615字)

群理论是19世纪Schottky、Klein和Poincare创立的。

此后长期没有得到充分地发展。直到近年来,由于Thurston的工作,Klein群的几何与拓扑的方法才得到明显的进展。Klein群的解析理论是从1964年Ahlfors的文章《Finitely generated Kleinian groups》开始的。文中的Ahlfors有性定理是解析理论的基础。

从此,有限生成的Klein群曾一度成为Klein群理论研究的中心课题。

设Г是一个Klein群,Ω=Ω(Г)是Г的全不连续区域,是它的极限集,则轨道空间Ω(Г)/Г是一些Riemann曲面的并。

如果△是Ω的一个分支,Г是△的稳定子群,则△/Г是分岐的Riemann曲面。两个分支△1,△2称为共轭的,如果有γ∈Г,使得γ(△1)=△2

如果△1,△2,…,是Г的两两不共轭的完备的分支,Гj=Г△j,则

(1)Ω(Г)/Г≈∪△1/Г1+∪△2/Г2+…

称Klein群Г在分支△上是有限型的,如果△/Г△是由一个紧Riemann曲面去掉有限个点得到的。称Klein群Г是有限解析型的,如果它只有有限个非共轭的分支,而且在每个分支上都是有限型的。

Ahlfors得到Ahlfors有限性定理:有限生成的Klein群是有限解析型的。

这个定理的逆定理是不真的。

1967年Bers得到更精细的结果。如果Г是非初等的Kelin群,Ω的每个分支△都有Poincare度量,而且这个度量可以诱导到Ω/Г上。这时可以计算出Ω/Г的面积Area(Ω/Г)。Г是有限解析型的,当且仅当Area(Ω/Г)是有限的。

Bers得到两个有限性定理,其中Bers第一有限性定理也称为面积定理。

Bers面积定理:如果Г有N个生成元,则Area(Ω/Г)≤4π(N-1)。

Bers第二有限性定理:如果K(Г)为Ω/Г的分支数,则K(Г)≤18(N-1)。

Bers的面积不等式是准确的,当Г是Schottky群时等式成立。对分支数不等式,Maskit猜测K(Г)≤2(N-1),至今尚未证实。20世纪70年代Kra[3]研究了Klein群的自守形式和Eichler上同调理论,这一理论更适合于讨论有限性定理。一个Ω上的可测函数μ称为权(-2q)的自守形式,如果(γ(z))γ′q(z)=μ(z),对一切γ∈Г成立。对q≥2,为Ω上有界的自守形式空间,Bq(Ω,Г)为它的全纯子空间。

设П2q-2是阶数不超过2q-2的多项式全体,群Г按规律:右作用在П2q-2上。映射x:Г→П2q-2称为上闭链如果x(γ1·γ2)=x(γ1)·γ2+x(γ2),对一切γ1,γ2∈Г成立。

对每个P∈П2q-2,映射x∶γ→P·γ-P称为上边缘链。

显然,上边缘链必是上闭链。一阶Eichler上同调群Н1(Г,П2q-2)是上闭链除以上边缘链所得的商空间。如果Г是有限生成的,生成元个数为N,则dimH1(Г,П2q-2)≤(2q-1)(N-1)。

当Г是有限生成的自由群时等式成立。设A∈Г是一个抛物元素。一个上同调类[x]称为关于A是抛物的,如果存在v∈П2q-2,使得x(A)=v·A-v。PH1(Г,П2q-2)是关于Г中所有抛物元素都是抛物的上同调类。

PH1(Г,П2q-2)是Н1(Г,П2q-2)的子空间。给定一个有界的自守形式μ位势Fμ(z)是全平面上的连续函数,且xμ∶γ→是一个上闭链,从而得到Bers映射

βq*限制在全纯自守形式空间上,Ahlfors证明是单射,Kra[3]证明当Г是有限解析型时是单射。Bers猜测βq*总是单射,此猜想对一般情况尚未证实。对Klein群Г总可得到蕴含关系。

(3)有限生成→Н2(Г,n2q-2)有限维→Bq(Ω,Г)有限维→有限解析型。

80年代Sullivan,Kra研究了尖点形式的有限性定理:如果Г有N个生成元,则Г的尖点形式最多有5(N-1)个。用dim(Н1(Г,П2q-2)/PH1(Г,П2q-2)可以得到尖点形式的更精确的估计,此外对拟尖点,抛物不动点都可以估计。

例如Kra得到Kra定理:如果是有N个生成元的Klein群,则Λ最多含有18(N-1)互不等价的抛物元素的不动点。

近年来,有限性定理的研究仍在继续,从蕴含关系(3)可见,有限生成,Н1(Г,П2q-2)有限维,Bq(Ω,Г)有限维,有限解析型之间尚存在一些间隙。

王键和蔡惠京的文章中定义了这一类拟有限生成的Klein群,它也具有Н1(Г,П2q-2)有限维的性质,所得结果在弥补这些间隙方面是一个初探。

【参考文献】:

1 Bers L. J. Analyse Math,1967,18:23~41

2 Kra I. Reading, Massachusetts, 1972

3 Sullivan D,Acta. Math,1981,147.289~299

4 Ahlfors.L. V Amer J Math,1984,86:413~429

5 Kra I. J. D'Analyse Math. 1983/1984,43:51~87

6 王键.湘潭大学学报,1990,12(1)∶1~7;1990,12(2)∶1~7;1992,14(2)∶15~24。

(湘潭大学王键教授撰)

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