费马大定理

书籍:现代科技综述大辞典上 更新时间:2018-11-16 21:24:26

出处:按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第32页(5575字)

法国费(P.de Fermat)大约于1637年在古希腊丢番图(Diophantus)的书《算术》(拉丁文译本)第2卷第8题“将一个平方数分为两个平方数之和”的空白处写下的一个命题。

用今天的语言叙述,费马大定理是:当n>2时,方程(1)xn+yn=zn没有正整数解。费马当时声称,他已找到一个奇妙的证明。

但是,350多年过去了,不仅没有找到费马的所谓“奇妙的证明”,而且不知有多少优秀数学家试图证明它,均没有成功。所以,费马大定理在今天也叫费马最后定理或费马猜想。

关于费马大定理,从提出到1847年大约过了200年,进展非常缓慢。当n=3,4时,费马本人已给出了证明。100年后,欧拉(L.Euler)发现n=3时费马的证明不完全,因而他给出了一个完全的证明。1823年,71岁高龄的勒让德(A.-M.Legendre)又成功地证明了n=5的情形。

高斯(C.F.Gauss)在给出n=3的情形的另一个证明后,试图证明n=7的情形,但他失败了。为此,高斯称费马大定理是“人们不能证明,也不能否定的命题”。1839年,拉梅(G.Lamé)证明了n=7情形。

第1个对费马大定理作出突破性工作的是德国库默(E.E.Kummer),他在1847年证明了当n是正规素数时费马大定理成立。

所谓正规素数,是指素数n满足:n不整除分圆域Q(η)的类数,这里η=exp(2πi/n)。库默还给出判断n是不是正规素数的方法:设n>3是素数,如果n不整除前个贝努里(Bernoulli)数的分子,则n是正规素数。通过计算,小于100的奇素数中除37,59,67外都是正规素数。但是直到今天,人们也不知道正规素数是有限的还是无限的。

尽管如此,库默由于研究费马大定理而引入的“理想数”的概念,创立了一门崭新的数学分支——理想数论。所以,人们称费马大定理是一只“会下金蛋”的

这或许是研究费马大定理的一个最重要的理论意义。

1908年,德国佛尔夫斯凯尔(Wolfskehl)逝世前,遗言中要求将10万马克巨款作为奖金授于第1个证明费马大定理的人。

这个奖的设立,大大推动了对费马大定理的研究。

所谓的“证明”纷纷传来,但无一例外均是错误的。

近、现代研究费马大定理,大约可分为3个方面:第1个方面是对一般的n来研究,通常是找费马大定理不成立的必要条件;第2个方面是研究(n,xyz)=1的情形,称为费马大定理的第一情形;第3个方面是研究(n,xyz)>1的情形,称为费马大定理的第2情形。

对第1个方面,假设方程(1)有正整数解,不妨设0<x<y<z。

1966年,裴利沙斯特利(M.Perisastri)证明x2>z。1988年,毕尔莱克(K.Bialek)证明x2>2z+1。1989年,曹珍富证明对2≤m≤n-1均有:

例如取m=2,我们有x2>nz+n-3。同时,他还证明了xn,以上是关于方程(1)正整数解的估计。关于解的个数方面,英国莫德尔(L.J.Mordell)于1922年提出了一个着名的猜想:在有理数域里,亏格大于或等于2的有理系数二元多项式方程最多只有有限个解。1983年,德国伐尔廷斯(G.Faltings)使用代数几何的深刻工具证明了莫德尔猜想(伐尔廷斯的证明是对于任意数域来证的),从而推出:当n≥4时,方程(1)如果有(x,y)=1的解,则最多只有有限组。

无疑,这又是对费马大定理的重大突破。利用伐尔廷斯的结果,1985年,希斯-布朗(D.R.Heath-Brown)证明了,这里r(N)表不超过N使费马大定理不成立的n的个数。这说明,对“几乎所有”的n费马大定理皆成立。此外,当n<4×106时费马大定理已被证明是成立的。

对第2个方面,即费马大定理的第一情形,早期的结果是热尔曼(S.Germain)与勒让德得到的,他们证明了当n是素数并且2n+1,4n+1,8n+1,10n+1,14n+1,16n+1之一是素数时费马大定理第一情形成立。1894年,文特(Wendt)考虑了由二项式系数(),(),…,()构成的一个循环行列式:

证明:设n是一个素数使得q=2hn+1是素数,如果q⊕D2h并且,则费马大定理第1情形成立。

由此结果可以推出热尔曼与勒让德的结果。1935年,E.莱默(E.Lehmer)证明:设p是奇素数,则pp-2·(2p-1-1)/p整除Dp-1

卡里兹(Carlitz)沿着这个线索于1960年证明:如果n=p是奇素数,pp+33①Dp-1,则费马大定理第1情形成立。另一方面,D.E.莱默与E.莱默推广前人结果,证明:设n是素数,如果费马大定理在第1情形时不成立,则对所有素数q≤43均成立(2)qn-1≡1(mod n2)。

利用这个结果他们证明当n≤25374887时费马大定理第1情形成立。1985年,爱德列曼(L.M.Adleman)与希斯-布朗证明有无穷多个素数n使费马大定理第1情形成立,即有:设S={n:n是素数使费马大定理第1情形成立},则#{n∈S:n≤x}》x0.6687,符号#{ }表示集合{ }的元素个数。

这个结果也是多年来人们梦寐以求的。1988年,格莱茵维勒(A.Granville)和蒙娜根(M.B.Monagan)将(2)式中的q改进为q≤89,并用此结果证明出费马大定理第1情形对n≤714591416091389成立。

1989年,唐耐(J.W.Tanner)与瓦格斯塔夫(S.S.Wagstaff Jr.)证明当n<156442236847241729时第1情形成立。

对于n为默森(Mersenne)素数或费马素数的情形,裴利沙斯特利证明费马大定理第1情形成立。1989年,曹珍富证明n为(qm-1)/(q-1),(qm+1)/(q+1)(2①m)或(q2m+1)/2(q>2)的素数时,费马大定理第1情形均成立,这里q≤89是素数。

对于n=2p,p为奇素数,1977年特亚尼安(G.Terjanian)利用丢番图方程中的柯召方法证明费马大定理第1情形成立。

利用范迪维尔(H.Vandiver)证明的“若n是素数,n|xyz且(1)成立,则n3| xyz的结果,罗特克魏兹(A.Rotkiewicz)、孙琦与曹珍富在1983年前后分别独立地证明8p3|x或8p3|y。1987年,曹珍富证明如果方程x2p+y2p=z2有整数解,这里p>3是素数,则4p3|x或4p3|y。后来,罗特克魏兹与辛赤尔(A.Schinzel)也得到类似的结果。对于方程x2p+y2=z2p,x2p+y2p=zp以及x2p+yp=z2p,曹珍富也证明了一系列定理,这些定理与方程x2p+y2p=z2的结论相似。

有趣的是,对方程x2p+y2p=zp的结果,4年后罗特克魏兹才得到。

另一类结果是1953年依恩柯利(K.Inkeri)证明的,即:如果对于素数n方程(1)有满足0<x<y<z,n⊕xyz的整数解,则

对第3个方面,即费马大定理的第2情形,已有的结果非常少。

原因是前面处理第一情形的方法均不能用来处理相应的第2情形。1929年,范迪维尔继续库默的工作,一般性的证明了:设n是奇素数,如果Q(η)的类数的第2个因子h+不被n整除,并且所有贝努里数B2kn(k=1,2,…,)的分子都不被n3整除,则费马大定理成立。

但是,因为第2因子h+的复杂性,试图避开h+就成为摆在人们面前的课题。为此,范迪维尔证明了一系列结果。1954年,D.H.莱默、E.莱默与范迪维尔证明适用于计算的新定理:设n是一个非正规素数,令ai()是下标使n|B2ai,如果对所有的下标ai,则费马大定理成立,这里l是素数,l=kn+1<n2-n,,t是满足的正整数,

此外,依恩柯利于1953年证明:如果n是奇素数,0<x<y<z,n|xyz且满足方程(1),则x>n3n-4

这个结果是可以改进的。

综上所述,费马大定理历史悠久,且在不同时期都有众多数学家参与工作,成为数学界最热门且又是最持久的课题。

目前看来,最重要的结果是从80年代初伐尔廷斯开始得到的。

今后,这一课题的热点将是:(1)使用椭圆曲线来研究。

1986年,费雷(G.Frey)把费马大定理与椭圆曲线联系起来,例如他证明了谷山-魏尔(Taniyama-Weil)猜想蕴涵费马大定理。但谷山-魏尔猜想是算术几何(也称丢番图几何)的深刻课题。在1988年初曾盛传日本宫冈利用椭圆曲线证明了费马大定理,但过后不久,伐尔廷斯便发现了宫冈有一处不可弥补的错误。(2)对abc-猜想的研究。

设a,b,c是互素整数满足a+b+c=0,则对任给ε>0均有max{|a|,|b|,。这就是马赛尔(Masser)与奥斯特勒(Oesterlé)提出的所谓的abc-猜想。显然,如果这个猜想被证明,则费马大定理对充分大的指数成立。1988年,赛尔维曼(J.H.Silverman)证明了:如果abc-猜想成立,则有无限多素数n满足

(3)关于(1)的解的估计与相关方程的研究。例如当x,y,z中有一个为素数幂时,方程(1)是否有正整数解?对相关的方程如xn+yn=czl(n,l均为素数)等,也有过大量的研究,并且将继续吸引人们的注意。(4)初等方法对第一情形将继续发挥作用,例如已知贝努里数、欧拉数、费波那兹(L.Fibonacci)数都可用来研究第一情形。

探讨新的二阶递推序列对第一情形的应用,将是人们进一步研究的题目。

(5)人们也将探讨有力的研究第二情形的方法,以及其它的一些情形。在这些热点当中,前两个对费马大定理的彻底解决最富有探索性。

我们期待着人类在费马大定理上再创奇迹,早日攻克这一着名难题。

校稿附记:1993年6月23日,英国外尔斯(Andrew Wiles)在剑桥大学顿数学研究所作了两个半小时的题为“模形式,椭圆曲线和伽罗华表示”的学术报告,报告中宣布他证明了谷山-魏尔猜想对于半稳定的椭圆曲线成立。

由于费雷由费马方程的一组正整数解得到的椭圆曲线(称为费雷曲线)是半稳定的,并且费雷曲线不满足谷山-魏尔猜想,所以费马大定理已作为推论得到证明。

据英国报纸说,外尔斯的这项工作的预印本长达1000多页,目前完全弄懂这项工作的证明细节的数学家不会超过6人。所以,这项工作将需要几个月的时间进行审查。尽管如此,有关专家与权威人士仍大都持肯定态度。

笔者认为,不管结果如何,热点(1)~(5)仍将是有意义的课题,特别是给出简化的、简洁的或完全新的证明,仍将吸引数学家们的极大兴趣。

。【参考文献】:

1 Ribenboim P. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer-Verlag, 1980

2 Heath-Brown D R. Bull London Math,Soc,1985,17(1): 15~16

3 Adleman L M,Heath-Brown D R. Invent,Math, 1985,79 (2):409~416

4 Frey G.Ann UnivSarav Ser Math, 1986,1(1) :iv+40pp

5 曹珍富.自然杂志,1987,10(5)∶393;1989,12(9)∶718;1990,13(5)∶314

6 Silverman J H.J Number Theory, 1988,30:226~237

7 Granville A.Monagan M B. Trans Amer Math Soc. .1988, 306(1) :329~359

8 TannerJW,etal. Math Comp, 1989,53(188) :743~750

9 曹珍富.丢番图方程引论,哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989

10 Rotkiewicz A.Colloq Math,1991,62(1)∶15~19

(哈尔滨工业大学曹珍富教授撰)

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