多重傅立叶级数的波赫讷－黎斯平均

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第43页（1475字）

多重傅立叶(Fourier)级数的一种最自然的线性平均，是研究多元周期函数的重要工具。

这个领域的开创性研究是波赫讷(S．Bochner)于20世纪30年代做出的。40年代末，中国程民德对波赫讷－黎斯平均(Bochner-Riesz means)(以下简记为B－R平均)做过系统研究，对多重三角级数唯一理论做出了重要贡献。50年代，程民德和陈永和开创了用B－R平均一致逼近函数的研究。这一阶段的研究工作基本上限于高于临界指数的B－R平均。

50年代末60年代初，斯坦因(E．M．Stein)对于不大于临界指数的BR平均的研究，做出了有本质性重大意义的贡献。他的工作包括对极大B－R算子的估计，使用了算子解析族内插的深刻工具，得到一系列关于平均收敛及几乎处处收敛的结果，从而把这一领域的研究推向新的高度。70年代以来，随着近代分析数学的蓬勃发展，美、欧、前苏联及中国的许多数学家在这一领域做出了重要的工作。这一领域逐渐成为多元傅立叶分析中结果比较丰富的领域。

同时，这一领域也是中国学者较早弥补十年动乱的损失较快进入国际前沿的领域。

80年代以来，中国学者对于B－R平均的定点收敛性，全测度集上的收敛性，各种尺度下的逼近及全测度集上的逼近，强求和及强逼近等方面作出了全面、系统的研究工作，取得了丰富的结果。例如在块生成的空间上，陆善镇(和M．H．Taibleson、G．Weiss)证明了临界指数的B－R平均的几乎处处收敛性；王昆扬首次对临界指数的B－R平均在全测度集上的逼近进行了研究。这些在陆善镇、王昆扬合着的《Bochner-Riesz平均》一书中有较全面的介绍。

程民德在给《Bochner-Riesz平均》一书所写的序言中，引述C．Fefferman和E．M．Stein分别在1974年和1986年在国际数学家大会上对调和分析研究进展的总结后所写道的“多元调和分析仍有许多重要的基本问题有待于进一步深入研究。”多重B－R平均，特别是不大于临界指数的情形，无论在几乎处收敛，强求和，逼近等各方面，仍有很多基本问题没有达到完善解决的地步。然而，这些问题的解决看来是相当困难的，也许需要引入新思想。

【参考文献】：

1 Bochner S. Amer. Math Soc,1936,40:175～207

2 Bochner S, Chandrasekaran K. Ann of Math,1948,49(4): 966～978

3 Cheng M T. Ann of Math,1950,2:403～416

4 程民德，等．北京大学学报(自然科学)，1956，4∶411～425

5 Stein E M．Acta Math，1958，100∶93～147

6 Stein E M．Ann of Math，1961，73∶87～109

7 陆善镇，等．Bochner-Riesz平均．北京：北京师范大学出版社，1988．1～414

(北京师范大学博士生导师王昆扬教授撰)