确定图上任意区域的面积

出处：按学科分类—工业技术 中国建材工业出版社《工程测量实用技术手册》第137页（2394字）

在工程建设中，常需要在地形图上量测一定区域范围内的面积。量测面积的方法较多，常用到的方法有图解几何法、坐标解析法和求积仪法等。在地形图上量算面积是地形图应用的一项重要内容。

1．图解几何法

当所量测的图形为多边形时，可将多边形分解为几个三角形、梯形或平行四边形，如图8－4(a)所示。用比例尺量出这些图形的边长，按几何公式算出各分块图形的面积，然后求出多边形的总面积。

当所量测的图形为曲线连接时，如图8－4(b)所示，则先在透明纸上绘制好毫米方格网，然后将其覆盖在待量测的地形图上，数出完整方格网的个数，然后估量非整方格的面积相当于多少个整方格(一般将两个非整方格看做一个整方格计算)，得到总的方格数n；再根据比例尺确定每个方格所代表的图形面积S，则得到区域的总面积S_总=nS。

也可以采用平行线法计算曲线区域面积，如图8－4(c)所示，将绘有间距d=1mm或2mm的平行线组的透明纸或透明膜片覆盖在待量测的图形上，则所量图形面积等于若干个等高梯形的面积之和。此法可以克服方格网膜片边缘方格的凑整太多的缺点。如图8－4(c)中所示的平行虚线是梯形的中线。量测出各梯形的中线长度，则图形面积为：

S=d(ab+cd+ef+…+yz) (d为平行线间距)

图8－4 区域面积的计算

2．坐标解析法

坐标解析法是根据已知几何图形各顶点坐标值进行面积计算的方法。当图形边界为闭合多边形，且各顶点的平面坐标已经在地形图上量出或已经在实地测量，则可以利用多边形各顶点的坐标，用坐标解析法计算出图块区域面积。在图8－5中，1，2，3，4为多边形的顶点时，其平面坐标为已知，分别为1(x₁，y₁)，2(x₂，y₂)，3(x₃，y₃)，4(x₄，y₄)，则该多边形的每一条边及其向y轴的坐标投影线(图中虚线)和y轴都可以组成一个梯形，多边形的面积A就是这些梯形面积的和或差，即可按下式计算出图形的区域面积：

对于任意的n边形，可以写出按坐标计算面积的通用公式

事实上，也可以按将各点向x轴投影来计算区域面积。

图8－5 坐标解析法面积量算

3．求积仪法

求积仪是一种专门供图上量算面积的仪器，其优点是操作简便、速度快，适用于任意曲线图形的面积量算，并能保证一定的精度。

求积仪有机械求积仪和电子求积仪两种。在此简单介绍一种使用较多的电子求积仪。

如图8－6所示为KP－90N电子求积仪，仪器是在机械装置动极、动极轴、跟踪臂(相当于机械求积仪的描迹臂)等的基础上，增加了电子脉冲记数设备和微处理器，能自动显示测量的面积，具有面积分块测定后相加、相减和多次测定取平均值，面积单位换算，比例尺设定等功能。面积测量的相对误差为2／1000。

图8－6 KP－90N电子求积仪

(a)仪器正面；(b)仪器底部止使用5min后，将自动断电，以节约电源；仪器配有输出电压为5V、电流为1．6A的专用充电器，可以使用电压为100～240V的交流电为电池充电。

仪器面板上设有22个键和一个显示窗(图8－7)，其中显示窗上部为状态区，用来显示电池、存储器、比例尺、暂停及面积单位；下部为数据区，用来显示量算结果和输入值。其中，ON：打开电源；OFF：关闭电源；SCALE：设定图纸的纵、横向比例尺。仪器允许所测图形的纵、横向比例尺不相同，这对测量纵断面图的面积非常有用。如果已经测量了面积，则完成比例尺的设置后，显示窗中的面积值将自动转换为新设比例尺下的面积值。自动断电或关闭电源，设置的比例尺仍被记忆。UNIT1：面积单位键1；UNIT2：面积单位键2。仪器有米制(km²，m²，cm²)、英制(acre，ft²，in²)和日制(町、反、坪)三种面积单位制，它们在状态区按列排列。每按一次UNIT1键，将按米制→英制→日制的顺序循环选择。选定了单位制后，每按一次UNIT2键，则在已选定的某个单位制内循环，如选择的是米制，则在km²→m²→cm²内循环。0～9：数字键；START：测量启动键；HOLD：测量暂停键。按HOLD键，显示窗中的“HOLD”字符被显示，当前的面积量算值被固定，并暂时停止面积测量，此时移动跟踪放大镜，显示的面积值不变；当要继续量算面积时，再按HOLD键，面积量算再次开始，该键主要用于分块量算面积。MEMO：测量结束和记忆键(存储)。面积量算结束后，按MEMO键，则将显示窗中显示的面积量算值存储在仪器的存储器中，此时显示窗中的“MEMO”字符被显示。仪器有10个存储器，最多可存储10个面积量算值。AVER：计算平均值键。按AVER键，可以对存储器中的面积量算值取平均值。C／AC：清除键，清除存储器中记忆的全部面积量算值。

图8－7 KP－90N电子求积仪面板