最小二乘法原理

出处：按学科分类—工业技术 企业管理出版社《计量专业工程师手册》第91页（2412字）

使各测量值(权p_i)与其最佳值之差v_i平方(乘p_i)之和为最小，以求出最佳值的方法，称为最小二乘法。即最小二乘法满足

在数据处理中广泛采用最小二乘法。

最小二乘法是平均值原理的推广。即对某一量多次等精度独立测得

x₁，x₂，…，x_n

取各测量值x_i权为1，则最佳值x应使

θ=∑(x_i－x)²=min

因

得

由

故符合最小二乘法的最佳值即平均值。

不但如此，当待求的未知量多于一个时，最小二乘法也可用于求出它们的最佳值。

下面阐述用最小二乘法求直线。

在计量工作中，两量ξ，η常有或近似有线性关系，若我们等精度独立测得

(ξ₁，η₁)，(ξ₂，η₂)，……，(ξ_n，η_n)，n≥2

且ξ无误差，要求配合直线

η=α+βξ (2．5－3)

即求待求量α、β的最佳值。

如图2．5－1，要对(ξ_i，η_i)，i=1，2，…，n配直线，当然要使直线穿过所有点一般是不可能的(因测量不准)，此时利用最小二乘法原理，可以要求各点至直线的纵坐标差η－(α+βξ)=v的平方和最小以解出α，β，即要求图上各正方形面积和为最小。

图2．5－1 最小二乘法求直线

我们称

为误差方程，由于各η_i等精度，设其权p_i=1，此时由

∑v²=∑η²+nα²+β²∑ξ²+2αβ∑ξ－2α∑η－2β∑ξη

按最小二乘法要求

∑v²=min

知α、β满足

引入高斯求和符号

从而上式成为正规方程

由此求得最佳值

β=S_ξη／S_ξξ

式中

求得α、β后，代回误差方程，可得各v_i

v_i=η_i－(α+βξ_i)

而单位权标准差

由标准差传播律，可求出最佳值的标准差

我们看到，若记误差方程(2．5－4)的矩阵形式为

AX=L+V

则设计矩阵A，待求向量X，测量向量L，残差向量V为

于是正规方程(2．5－5)的矩阵形式为

A′AX=A′L

即

或

正规方程系数阵显然为对称阵，由矩阵运算律(A′A)′=A′A，这是必然成立的。

〔例2．5－2〕 今对两量ξ，η等精度独立测得

(ξ₁，η₁)=(1，1．0)

(ξ₂，η₂)=(2，2．2)

(ξ₃，η₃)=(3，3．0)

(ξ₄，η₄)=(4，4．5)

(ξ₅，η₅)=(5，5．0)

则误差方程为

1．0－(α+β )=v₁

2．2－(α+2β)=v₂

3．0－(α+3β)=v₃

4．5－(α+4β)=v₄

5．0－(α+5β)=v₅

由∑v²=min 得正规方程

5α+15β=15．7

15α+55β=57．4

解得最佳值

α=0．05

β=1．03

【参考文献】：

［1］王立吉，计量学基础，中国计量出版社，1988。

［2］BIPM、IEC、IFCC，IUPAC，IUPAP，OIML，Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement， ISO，1993．

［3］刘智敏，不确定度原理，中国计量出版社，1993。

［4］刘智敏，误差分布论，原子能出版社，1988。

［5］刘智敏，误差与数据处理，原子能出版社，1983。

［6］Liu Zhimin(刘智敏)，Measurement Uncertainty and Its Correlation Combination，Proceeding of ISEM， 1993．

［7］国家计量总局量值传递处编，计量技术考核纲要，计量出版社，1981。

［8］国家技术监督局审定，刘智敏等编审，全国计量检定人员考核统一试题集第六分册三，误差及数据处理，陕西科学技术出版社，1990。