线性规划图解法

出处：按学科分类—经济 湖北人民出版社《企业管理公式辞典》第340页（1050字）

一种用图解形式求解线性规划模型的方法，只适用于具有两个结构变量的线性规划问题。

其步骤如下：

(1)以平面直角坐标系两坐标轴分别表示结构变量X₁、X₂。将约束条件视为等式，并在直角坐标系中作出其对应的直线。

(2)根据各个具体约束(“≥”或“≤”)，确定满足各约束的可取区间，并通过分析，找出满足诸约束条件的可行解范围——可行域(线性规划的可行域为一凸集，即在平面图上是一凸多边形)。

(3)在上述同一坐标系中，作出目标函数的等值线(线性规划目标函数在图中是一平行直线族，只须画出任一条即可)。

(4)沿着目标函数等值线的法线方向，通过分析，确定可行域的某一顶点(或称极点)为线性规划问题的最优解。

(5)解方程求出变量X₁、X₂的最优值，并代入目标函数，求出目标的最优值。

例，对线性规划模型条目中所给例题，用图解法求解。

这是一个含两个结构变量和三个不等式约束条件的线性规划模型。

由平面几何可知，两点可确定一条直线。

把上面约束中三个不等式改为等式，即可画出它们对应的直线①、②、③。再由非负限制X₁、X₂≥0及各约束均为“≤”，则可确定该线性规划的可行域R，可行域R的边界点是由直线构成的一个凸多边形ABCDE的各顶点，见下图所示。

选择任一目标函数等值线作图，通常选7X₁+12X₂=0。

沿目标函数等值线法线方向，求得最优目标函数线为通过可行域R顶点C的直线，则C点为该问题的最优解。

C点为直线②与③之交点，联立

解之得：X₁^*=20(吨)X₂^*=24(吨)

最优目标值：Z^*=7×20+12×24=428(万元)