对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线

出处：按学科分类—文体、科学、教育 商务印书馆国际有限公司《高中数理化公式定理大全》第85页（1167字）

1．方程(a>b>0)表示中心在(h，k)，对称轴平行于坐标轴的椭圆，其焦点坐标为(±c+h，k)，准线方程为．

2．方程表示中心在(h，k)，对称轴平行于坐标轴的双曲线，其焦点坐标(±c+h，k)，准线方程+h．

例1 平移坐标轴，把原点平移到O′(—1，2)，求：

(1)点M(3，4)的新坐标；

(2)在新坐标系中，点N(3，4)的原坐标；

(3)曲线x²+y²+2x—4y+1=0在新坐标系中的方程．

解(1)由移轴公式得

把x=3，y=4代入得x′=3+1=4，y′=4—2=2，所以点M的新坐标是(4，2)．

(2)将x′=3，y′=4直接代入移轴公式

得x=3—1=2，y=4+2=6，∴点N的原坐标为(2，6)．

(3)将移轴公式x=x′—1，y=y′+2代入已知方程，得(x′—1)²+(y′+2)²+2(x′—1)—4(y′+2)+1=0．化简整理，得x′²+y′²=4，此即为曲线在新坐标系中的方程．

例2 双曲线3x²—y²=k的中心在直线l∶y=x上移动，且保持对称轴平行于坐标轴，问平移中是否存在这样的双曲线，它截直线l的弦长与截y轴的弦长都等于?若存在，求出双曲线方程，若不存在，说明理由．

解 设双曲线方程为3(x—m)²—(ym)²=k． ①

将y=x代入，得2(x—m)²=k，

当k≥0，，双曲线在l上截得的弦长为．

在双曲线方程①中令x=0，得y²—2my2m²+k=0．

双曲线方程①在y轴上截得的弦为．

解得k=2，均适合②所以存在符合条件的双曲线，其方程为3(x+或 ．