连续不动点算法

出处：按学科分类—经济 经济科学出版社《西方经济学大辞典》第231页（666字）

受不可压缩定理(the non-retraction theorem)与布劳维尔(Brouwer)不动点定理的等价性证明的启发，开洛克(R．B．Kellogg)、李天岩(T．Y．Li)、约克(J．Yorke)在20世纪70年代提出计算不动点(均衡价格)的下述算法。

记实心球为B，它的边界是球面S₀设f：B→B是球体到自身的光滑映射，记f的不动点的集合为K。对从B减去K的余集B／K的每点x，f(x)和x总不重合，从f(x)经x的射线与球面S的交点记作g(x)，就这定义了光滑映射g：B／K→S。

(图1)

图1

萨德(Sard)定理断言，S上几乎每一点都是g的正则值。

只要x是g的正则值，根据原象定理(整体的隐函数定理)，x的原象g^－1(x)(由所有使g(v)=x的v组成)就是以x为一端的一条光滑曲线。从而开始跟踪这条光滑曲线，就会走到f的一个不动点x^*。(图2)

图2

算法是否可行取决于随机地选取的出发点x是否g的正则值，所以由萨德定理，算法可行的概率是1。实际计算时，算法成功的概率接近1。

计算数学中已经有跟踪曲线的成熟方法。