数学

出处：按学科分类—自然科学总论 天津人民出版社《自然辩证法辞典》第886页（1072字）

关于现实世界中量及其关系的科学。

早在远古时代，人类在长期生活和生产实践中，就开始创造和积累了有关数与形的一些知识。后来，又逐步发现这些知识的内在联系，并加以系统化，形成了一些学科。

到16世纪，已完备的学科有算术、初等代数、初等几何等，它们统称为常量数学。17世纪，生产实践的发展向数学提出一系列必须用“运动”观点来研究事物的新问题。于是，笛卡儿引入了“变数”的概念，并制定了解析几何。“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生”。(恩格斯《自然辩证法》第236页)。

解析几何和微积分的产生，标志着数学由常量数学阶段转化到变量数学阶段。此后，随着生产和科学实验的发展，又出现了许多数学分支学科，形成了庞大的数学学科体系。按现代数学的观点，数学可分为(1)几何类：欧氏几何、解析几何、射影几何、拓扑学、非欧几何等；(2)代数类：方程式论、线性代数、群论、环论、域论等；(3)分析类：微积分、实变函数论、复变函数论、微分方程、泛函分析、非标准分析等；(4)随机类：概率论、数理统计、随机过程等；(5)运筹类：优选学、规划论、排队论、对策论等；(6)计算类：计算方法、逼近论、程序设计等；(7)模糊类：模糊集合论、模糊概率、模糊拓扑等；(8)综合类：集合论、数理逻辑、微分几何、代数几何、分析拓扑、矩阵微积、随机微分方程、物理数学、计算化学、生物数学、计算机数学理论、经济数学、控制论等。

数学具有明显的特征：一是高度的抽象性，由于数学的抽象是完全脱离任何特定物质形态的质的规定性的抽象，以及关于量的逐级抽象，故它必然“以极度抽象的形式出现”(恩格斯：《反杜林论》第35页)；二是严谨的逻辑性，由于数学的对象是表现为“思想事物”的纯粹的量，故它必须借助于逻辑思维的规律来构成自己的概念、理论和体系；广泛的适用性，由于数学所研究的量及其关系，不只局限在某一特定的物质形态，而是普遍地存在于一切物质形态之中，故它能够广泛地应用于各种物质形态的研究。

马克思指出：一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。就是说，只有运用数学揭示某一特定物质形态的量的规定性，才能真正把握该物质形态的质的规定性。故此数学有着重要的哲学意义，它是辩证的辅助工具和表现方式。马克思、恩格斯分别在《数学手稿》和《自然辩证法》中，对数学的辩证内容做了深刻的分析和论述。