Banach格与正算子
出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第38页（3125字）
Banach格理论是泛函分析的重要分支。
Riesz空间(又名向量格或线性格)是一代数格，又是一向量空间，并且序同代数运算相容。Riesz空间赋予与序相容的范数使之成为Banach空间，则称之为Banach格。Banach格将代数、拓朴、序3种结构溶于一身，Banach格上正算子是Banach格上算子理论的主要研究对象。
Banach格与正算子理论的研究旨在揭示它们3种结构间的联系以及在空间、算子结构和性质方面产生的影响。
作为泛函分析的出发点，并有大量研究和广泛应用的经典函数空间，都有其自然的序关系存在。1928年，黎茨(f．Riesz)的一篇题为“线性泛函之分解”的短文预示了Riesz空间的开端。
约在1935年，由黎茨、弗鲁登特(H．Freudenthal)、凯特诺维奇(L．V．Kantorovitch)3人分别采用不同的方法独立地建立了Riesz空间理论。其中以弗鲁登特关于Riesz空间中的谱定理最为出色，它把测度论中着名的Radon-Nikodym定理和Hilbert空间上Hermitian算子的谱分解定理作为直接推论。
由此很快吸引了大批数学工作者参与此项理论的研究，为促进Riesz空间理论的发展起了很大的推动作用。
20世纪40年代初期，日本、美国、前苏联等国都成立了各自相应的研究中心。日本以拉卡罗、阿嘎萨娃和约希塔为首，前苏联以佩斯克(A．G．Pinsker)、凯特诺维奇、瓦利克(B．Z．Vulikh)等人为首，他们主要是从事于Riesz空间的代数性质和收敛性质等方面的理论研究；美国则以卡库坦尼(S．Kakutani)、波宁布莱斯特(H．F．Bohnenblust)为代表，注重具体或抽象的M－空间与L－空间结构性的讨论。他们的巨大成就和贡献正是Banach格早期理论的重要组成部分。
到40年代末期现有的研究成果已为Banach格理论奠定了坚实的基础。
1950年，拉卡罗、凯特诺维奇等人以他们各自的研究成果为基础撰写的专着分别在日本和前苏联的首次出现，在其国内产生了很大影响。50年代中期，在世界各国众多数学家们的共同努力下，使Riesz空间和Banach格已基本形成一完整的理论体系。并且在此之前很少有人问津的正算子研究也开始出现。从50年代末到60年代中期，Banach格与正算子的讨论全面铺开并不断深入，参予的人数也迅速增多。其中最为出色的当推安多(T．Ando)、戈弗曼(C．Goffman)、(凯普莱(S．Kaplan)、扎宁(A．C．Zaanen)、斯切夫(H．H．Schaefer)等人。
他们的研究重点主要集中在以下4个方面：(1)Banach格的序连续性、弱紧性、Banach空间的嵌入等空间性质。(2)格同态、区间保持等特殊正算子的结构方面。(3)正算子的分支、不变理想、谱尤其是边缘谱等方面。(4)算子空间、算子Banach格的拓朴、序结构方面。
到60年代末期已经很好地建立了Banach格上正算子的基础理论。
如果说在50～60年代，受高速发展的泛函分析之影响，使Banach格与正算子理论的研究在形式和方法上多少有对称或模仿泛函分析的痕迹的话，那么在70年代，这项理论的研究则完全摆脱了这一点，并在内容上逐步显示出固有特色，以及自己的一套研究方法和技巧。
特别是在1974年，斯切夫的专着《Banach格与正算子》的出现，对Banach格理论向众深发展起到了划时代的意义，它标志这项理论已真正成为一独立的分支。多兹(P．G．Doods)和弗勒林(D．H．Fremlin)在正紧算子的控制性质与格性质方面的系列工作可谓70年代正算子理论研究的一块里程碑。与此同时，阿布诺蒙维克(Ju．A．Abramovic)、阿利谱林特斯(C． D．Aliprantis)、布肯萧(O．Burkinshaw)、卡特外特(D．I．Cartwright)、斯奇普(A．R．Schep)、韦克司迪(A．W．Wickstead)等人也做了大量的工作。
他们的研究主要涉及到绝对可和算子、积分算子、核算子、L－弱紧和M－弱紧算子等以及这些算子组成的空间。
可以说这10年是正算子理论成熟和韦收的年代。
80年代，Banach格与正算子理论继续稳步向前发展。美国的阿利普林特斯和布肯萧在正算子的各种紧性方面的系列工作和他们1984年出版的专着《正算子理论》以及荷兰扎宁的专着《Riesz空间Ⅱ》均是其重要标志。从60年代末到80年代，Banach格理论已成功地应用在经济、物理、控制论、随机过程等许多领域。1986年华罗庚关于《大范围经济理论的数学依据》，就是正算子(正矩阵)应用的典型范例。
目前从事于这项理论研究的人数甚多。在前苏联、德国、美国、荷兰等都有研究团体。前苏联主要以函数论为工具；德国与荷兰则注重拓朴和测度论方面的技巧；美国则偏重于经典泛函分析中的方法。
但他们都有各自的研究风格。罗马尼亚的尼库勒斯库(C．P．Niculescu)在70～80年代中的杰出贡献，使之成为当今从事正算子理论研究的佼佼者，尤其是他在80年代发表在“算子论杂志”的几篇力作，掀起了正算子研究的一个高潮。
如今正算子理论研究的热点主要集中在特殊算子类(如各种弱紧算子类、Dufford-Pettis算子类、A、B－型算子类等等)的拓朴性质、格性质、拓朴结构和格结构等方面。
而在Banach格中研究热点一是表现在空间的经典性质(如Radon-Nikodym性质、序连续性质、Dieudonne性质、Grothendieck性质等)之划画及在算子论方面的应用；二是特殊空间(如函数空间、KB－空间等)结构性质方面的研究。
作为Banach格与正算子理论的另一研究热点就是在其他学科中的应用，这也是该项理论有等进一步发展的重要方面。
。【参考文献】：
1 Grothendieck A.Canad J Math,1953,5:129～173
2 Schaefer H H. Banach lattices and positive operators. Springer-Verlag,Berlin and New York,1974
3 Doods P G, Fremlin D H. Israel J Math, 1979,34:287 - 320
4 Aliprantis C D, Burkinshaw O. Trans Amer Math Soc, 1982,274:227～238
5 Zaanen A C. Riesz spaces II , North - Holland publishing company Amsterdam, New York, Oxford, 1983
6 Niculescu C P. J Operator Theory,1985,13:49～61
(西南交通大学陈滋利副教授撰)