多元奇异积分算子理论

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第46页（3516字）

多元奇异积分是一种特殊的积分变换，它是一维Hilbert变换到高维欧氏空间的推广，由A．P．Calderon和A．Zygmund于1952年引入。

他们就最基本与最典型的情形证明奇异积分算子的L^p有界性。这是奇异积分理论的奠基性工作，以后经E．M．Stein、G．Weiss和C．Fefferman等人，把奇异积分算子同Hardy-Littlewood极大函数、面积积分、多元调和函数边界性质以及Littewood-Paley理论联系起来，构成了近代调和分析的主要工具。

同时由L．Nirenberg等人在奇异积分理论和方法基础上，发展出伪微分算子、Fourier积分算子等理论，形成偏微分方程近代理论的一个重要方面。

首先应考虑n维欧氏空间Rⁿ(n＞2)上的Poisson方程Δu=f。

试用牛顿位势

求解。为验证这个函数满足方程，形式地在积分号下微分两次，得到

式中，一般说来，积分(1)是发散的。因为它的核Ω_j(x)／｜x｜ⁿ按绝对值大小来说，在原点x=0附近是不可积的，也即按Lebesgue积分的意义来说，积分(1)一般不存在。但由于Ω_j在Rⁿ的单位球面S上的平均值等于0，即

所以对“好”的函数来说，只要把积分(1)理解为

就可以证明这极限是存在的。并且可进一步证明，如果f(x)∈L^p(Rⁿ)(p＞1)，那么积分(2)所定义的也属于L^p(Rⁿ)。按正常意义是发散的积分(1)，用(2)来定义就是收敛的。因此人们都称(1)右方的积分为多元奇异积分或多元奇异积分算子。

一般的多元奇异积分算子是按如下定义的一种积分变换

式中Ω(y)是零次齐次函数，即对任意的λ＞0，满足Ω(xy)=λΩ(y)，并且在Rⁿ的单位球面S上的平均值等于0，即(y)=0，同时还具有一定的光滑性。

(1)中积分是奇异积分算子的一个特例。A．P．Calderon和A．Zygmund于1952年的奠基性工作就是证明：如果f(x)∈L^p(Rⁿ)(p＞1)，则由(3)所定义的7f(x)∈L^p(Rⁿ)并且

‖Tf‖_L^p≤C‖f‖_L^p

式中C与f无关。

从Fourier变换的观点来看，如果f(x)∈L²(Rⁿ)，则7f(x)和f(x)的Fourier变换可用等式

联系起来。其中m(x)是Rⁿ上的一个零次齐次函数，更准确些，m(x)和(3)中的Ω(x)有下面的关系：

式中，x·y表示x与y的内积。

积分(3)是第1代的多元奇异积分算子，它是卷积型的。这种算子的研究，如它的收敛性，它在各种空间上的有界性，甚至它在各种加权空间上的有界性等等都有较完整、成熟的结果。

它的理论主要适用于常系数偏微分方程。

随着人们更深入的探讨，在20世纪60年代，由KohnNirenberg、Hormander等人提出第2代的多元奇异积分算子。它是伪微分算子，研究的主要对象是

它比较接近卷积，仍可用Fourier变换作为主要工具来研究。它对线性变系数方程理论有重要意义。

算子(3)的L²有界性是用Plancherel定理来证明的。Plancherel定理不能用到非卷积型算子上，所以这就产生了困难。

例如Calderon的k阶交换子就是调和分析中最典型的非卷积型奇异积分算子。1978年，R．R．Coifman和Y．Meyer提出了分布核与Calderon-Zygmund奇异积分算子的概念，它既包括了卷积型奇异积分算子，也包括主要的经典伪微分算子，还包括许多其它的非卷积型算子。这就是第3代的多元奇异积分算子。定义如下：

设T：D(Rⁿ)→D′(Rⁿ)是线性连续算子。

其中D是Schwartz函数空间，D′是其对偶。如果存在K(x，y)∈D′(Rⁿ×Rⁿ)，它在Rⁿ×Rⁿ＼｛x=y｝上的限制是一连续函数(仍记为K(x，y))，满足

当｜x－y｜＞2｜x－x′｜，其中0＜δ≤1；

当｜x－y｜＞2｜y－y′｜。

并且对任意f，g∈D，Suppf∩Suppg=Φ，有

则称T为广义奇异积分算子，K为T的分布。如果T能扩张为L²有界算子，则称T为Galderon-Zygmund奇异积分算子。

广义奇异积算子有界性的中心问题是L²有界性。在Plancherel定理不能应用的情况下，能否有一个一般性的证明L²有界性之准则?G．David和J－L．Journe于1984年第一次得到了这样准则：

T(1)定理：设T：D(Rⁿ)→D′(Rⁿ)为广义奇异积分算子，则T为Galderon-Zygmund奇异积分算子，当且仅当T是弱有界的，T(1)∈BMO和T^*(1)∈BMO。其中T^*是T的转置算子。

对Calderon-Zygmund奇异积分算子来说，其L²有界性保证了它在许多空间的有界性。

所以T(1)定理为近代调和分析的重大成果之一。

多元奇异积分理论的丰富发展，尤其是在Calderon-Zygmund分解(这个分解是A．P．Galderon和A．Zygmund在证明积分(3)的L^p有界性发现的，其作用是关键的)。基础上发展出的一整套实变函数论方法，不仅在近代调和分析和偏微分方程的理论中，而且在多元复变函数论、概率论和位势理论中，起着重要的作用。目前，国际上对小波分析(Wavelets analysis)研究的最好方法之一就是应用Calderon-Zygmund奇异积分理论。

因此，对多元奇异积算子理论领域中尚待解决问题的研究有着重要意义。

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【参考文献】：

1 Calderon A P, et al. Acta Math, 1952,88:85～ 139

2 Stein E M. Singular integrals and differentiability properties of fuctions. Princeton Univ Press ,1970

3 Journe J L. Lecture Notes in Math, 1983,994

4 David J, et al. Ann of Math,1984,120:371～397

5 Garcia-Cuerva J , et al. Weighted norm inequlities and related topics. North Holland Amsterdam ,1985

6 Torchinsky A. Real variable methods in harmonic analysis. Academic Press, 1986

7 David J. Lecture Notes in Math, 1991,1465

8 邓东皋等．数学进展，1991，20(3)：294～310

(河南大学李登峰副教授撰；施成亮审)