克莱姆法则的推广

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第32页（2096字）

众所周知，求解n阶非奇异线性方程组Ax=b的Cramer法则是把解向量x的分量x_i表成两个行列式之商的形式，x_i=detA(i→b)／detA，i=1，2…，n。

这里A(i→b)表示矩阵A的第i列换成向量b后得到的矩阵。(Robinsen，1970)给出Cramer法则一个非常优美的短证。1982年起陆续发表了一系列论文，将Robinson中的证明技巧应用于相容的或不相容的，或相容的而带有约束条件的线性方程组的解和不相容矩阵方程组的最佳逼近解的行列式表示，从而推广了Cramer法则。推广的基本思想是从已知的矩阵A出发构造一个加边矩阵()。当U和V满足一定条件时，加边阵非奇异，再由加边阵构成的线性方程组求出原方程组的解。

1982年Ben-Israel和Vorghese指出，已知A为m×n阶矩阵rank A=r，U为m×(m－r)阶和V为n×(n－r)阶的满秩矩阵。它们的列分别为零空间N(A^*)和N(A)的基，则相容线性方程组Ax=b(b∈R(A))的极小范数解和不相容线性方程组的极小范数最小二乘解x=A+b的分量xi均可表为两个(m+n－r)阶行列式之商，，i=1，2，…，n，这一结果突破了只能在非奇异线性方程组的范围内应用Cramcr法则的框框，开阔了人们的思路。接着王国荣(1986)给出了不相容线性方程组极小N范数，M最小二乘解的Cramer法则。1989年又给出了求解一类奇异线性方程组Ax=b(Ind(A)=k，b∈R(A^k))的唯一解x=A_db的Cramer法则。季均(1985)给出了求解不相容矩阵方程AXB=D最佳逼近解的Cramer法则。

Wornor(1984)讨论一类相容约束线性方程组唯一解的Cramer法则。值得一提的是Wornor除了用上述构造加边非异矩阵的方法外，还提出另一种较简形式的Cramer法则，其基本思想是把原方程组中的奇异方阵A加一个修正阵B。

使A+B非异，然后从相应的非异线性方程组求出原方程组的解。例如，当A为n阶矩阵，rankA=r，b∈R(A)，M和N分别属于零空间N(A)和值空间R(A)的补子空间N_c(A)和R_c(A)。设C和D为n×(n－r)阶列满秩矩阵，它们的列分别是N和M的基。取B=CD^*。

则相容约束线性方程组Ax=b．x∈M的唯一解x的分量x_i可表为两个n阶行列式之商：

x_i=det［(A+B)(i→b)］／det(A+B) i=1，2…，n。

这一结果中出现的行列式阶数与原问题相同，且容易构造，Cramcr法则推广这一新进展。

启发我们去研究其它一些问题的较简形式的Cramcr法则。王国荣(1992)系统地研究了不相容线性方程组的极小N范数M最小二乘解和极小范数最小二乘解。一类奇异线性方程组唯一解及不相容矩阵方程最佳逼近解的较简行列式表示。

Prasad和Bapat(1992)得到了求广义Moore-Penrose解的广义Cramer法则。

在研究Cramer法则推广的同时，可得到M－P逆A⁺，加权M－P逆，群逆A^#．Drazin逆A_d等多种广义逆的行列式表示。目前正在研究的是，当T∩N(A)=｛0｝时，一般约束线性方程组Ax=b，x∈T的唯一解的Cramer法则和约束矩阵方程AXB=D。

有唯一解的条件，并给出唯一解的较简行列式表示。

。【参考文献】：

1 RobinsonSM. MathMag,1970,43:94～95

2 Ben-Isracl A. LA A,1982,43:223～226

3 VerghescGC. LA A,1982,48:315～316

4 WernerHJ.LMA,1984,15:319～330

5 季均．上海师大学报，1985，14(2)∶11～23

6 Wang Guorong．L A A，1986，74；213～218

7 Wang Guorong．L A A，1989，116∶27～34

8 王国荣，王峥．上海师大学报，1990，8(4)∶353～362

9 王国荣．上海师大学报，1992，21(1)∶1～7

10 Prasad K M，Bapat RB．L A A，1992，165∶59～69

(上海师范大学王国荣教授撰)