现代位势论
出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第51页（5881字）
数学分析领域中较早完成现代化变革的一个分支，它的研究对函数论(包括Riemann曲面论)、微分方程、泛函分析、拓扑学、调和分析等相邻数学分支的发展产生重大作用；它与随机过程的内在联系的研究产生了“概率位势理论”这一新的数学分支；它在物理、流体力学、静电学等学科中也有广泛的应用。
位势论起源于物理学的万有引力学说和静电学。远在1733年拉格朗日(J．Lagrange)就发现，力场是一个位势函数的梯度。
1772年拉普拉斯(P．S．Laplace)证明，在不分布质量的地方，位势函数满足Laplace方程。
从18世纪到19世纪末，位势论的研究限于n维欧氏空间Rn的L．Newton(牛顿)位势(n≥3)：
(其中μ是一个正拉车Radon测度，｜x－y｜2－n称为Newton核)及对数位势(n=2)：
(其中
称为对数核，μ同上)。现在人们将这种位势论称为经典位势论。19世纪末，位势论的三个基本原理，即极小值原理、收敛性质及Dirichlet问题已基本建立，为现代位势论的发展做了充分的准备。
20世纪以来，由于现代函数论、测度和积分理论、泛函分析广泛应用，一般拓扑、抽象代数等思想方法，并与概率论相结合，位势论得到迅速发展和变革，形成了现代位势论；它的研究又反过来促进了有关分支的发展。
30年代，瓦莱·普桑(Valleé-Poussin)用现代观点改进并发展了班加来(Poincaré)扫除法，佛罗斯特曼(O．Frostman)发展了Gauss变分法，成功地解决了紧集的平衡问题和扫除问题。
同时，位势核已推广到M．Riesz核，即(1)式中的牛顿核改为｜x－y｜α－“，0＜α＜n，μ为变号测度的形式，它对应于非局部微分算子，已不属于通常偏微分方程所关联的位势核了。
从40年代起，泛函分析、拓扑学的方法系统应用于位势论并使它发展到一个新水平。
1941年，加当(H．Cartan)利用希尔伯特(D．Hilbert)空间理论研究具有有限能量的测度，建立了新的扫除法，获得很大成功；同年马丁(R．S．Martin)建立了Martin边界理论，导致关于正调和函数及理想边界的深入研究。1950年戴尼(J．Deny)用L．Schwartg分布论(广义函数论)解决了Dirichlet原理中的完备化问题；1955年绍凯(G．Choquet)建立了一般容量理论、可容性定理并用紧凸集的极端点理论改进了Martin定理的证明。
此外，关于一般的空间(如流形，局部Abel群)和更一般形式的位势核的位势论也有了深入的探讨。
50年代后，位势论迅速发展。
除了它越来越广泛、深入地与复分析、拓扑学、几何测度论、微分几何、微分方程、调和分析、泛函数分析等相邻数学分支相互结合、相关渗透且发挥着日益显着的作用外，还具有如下两个特点：
其一是，各种公理系统的位势论不断建立和完善。为了统一处理已有的理论并加以推广使之适用于一般的椭圆型与抛物型微分方程及随机过程，从50年代后期到70年代初，陶治(G．Tautg)、杜布(J．Doob)、鲍尔(H．Bauer)、波尼(J．M．Bony)、康斯坦丁泥斯库(C．Constantinescu)、A．Cornea和M．Brelot等人先后给出不同的公理系统，建立了各种形式的调和空间位势论；与此同时，J．Deny等人则从能量与Dirichlet积分等概念出发建立了Dirichlet空间的公理系统。
其二是，位势论与随过过程的内在联系得到深入研究，同时促进了分析与概率论这两个在40年代前仍被视为互不相干的数学领域的发展。40年代中期，角谷静夫、考茨(Kac)和Doob等人先后发现经典位势论与布朗(Brown)运动之间存在一种对应关系。50年代，Doob为揭示二者的联系作了大量工作；1957年享特(G．A．Hunt)进一步推广到较一般的Markov过程(亦称Hunt过程)。从此，位势论的基本概念获得了明确的概率意义，而分析工具又大大促进了概率论的发展。Martin边界被翻译成概率的语言并用于研究Markov过程；由于调和空间引入了Markov半群，因而构造出Markov过程，公理位势使随机过程的研究提高到一个新水平。80年代，C．P．Mckean和S．Ito等人在流型上用随机微分方程建立扩散过程，提供了用概率来研究位势论的一种方法。在Doob、Hunt、麦叶(P．A．Meyer)和钟开莱(K．L．Chong)等人一系列出色工作的基础上，80年代末已形成“概率位势论”这样一门新学科。
当前关于位势论的研究，大体可从下述5个方面来考察：
关于一般位势论的研究仍然占有较大的比重 这里指的是在Rn、Riemann流形(包括曲面)、Cn及其中的多圆柱等具体空间上关于一般核的位势及相关联的问题的研究，这是经典位势论的直接发展，例如，自1965年L．Landkof的名着《现代位势论基础》问世至今，前苏联一直有大批学者在从事Riesz位势的研究；法国Ancona等从1978年至今对Rn上区域的Martin边界、Green函数的边界性质、Harnach性质等有一系列创造性工作；中国章逸平1986年对边界的两种瘦性作了比较；英国许多学者于80年代发表了许多关于Rn的超平面等一些特殊区域上的调和、上调和性质的研究。
关于调和与上调和函数的细边界值与角形边界值的研究至今仍是热点之一，80年代台湾黄俊雄关于Doob猜想有许多出色的工作；1988～1990年，日本Y．Mijuta的工作引人注目，高琪仁从1986到1989发表的结果把Doob与黄俊雄的工作推进一步。从1974至1991年M．Nakai与T．Tada等关于与方程Δu=pu相关联的Martin边界与Picard原理有了大量深入的研究成果。吴炯圻于1983～1989年的几篇文章发展了Nakai的部份工作。在1990年国际位势论上，加拿大的J．C．Taylor与K．Gowrisankaran分别报告了《关于多圆柱的正谱底部的Martin紧致化》与《关于多圆柱的非切极限》的研究。关于多重调和函数的研究，中国科学院的马志明等学者也做了重要的工作。关于位势论在流体力学，静电学等方面的应用研究在各种杂志也时常见到。
位势论的公理系统不断发展完善
(1)关于调和空间位势论：1990年捷克I．Netuka在P调和空间上研究了Dirichlet问题的边界行为。1991年吴炯圻与高琪仁在不用限制可数基的调和空间上研究了位势延拓与广义容量。
从70年代起对细调和、细解析函数作出深入研究的B．Fuglede近年来在研究调和空间之间的调和映射获得很好的结果；捷克J．Lukes等人1986年发表了专着《实分析与位势论中细拓扑方法》。
近年来，对调和空间中的细拓扑又有新的研究。
(2)关于Dirichlet空间与Dirichlet形式：例如1990年美国M．Rlckner《在非局部紧空间由Dirichlet形式表示的位势论》中体现了概率与位势的结合。
(3)关于扫除空间与H锥理论。
它们都是调和空间位势论的进一步发展。扫除空间是德国J．Biledtner与W．Hansen定义的，近年来也有许多新研究。
他俩的专着《位势论——扫除的分析与概率方法》1986年出版后在国际上影响深远。N．Boboc、A．Cornea和Ch．Bucur于1981年发表了专着《位势论中的次序与凸性：H－锥》，近年来这个理论有很大发展。
(4)非线性位势论公理系统。这是当前研究的热点之一。1987年的国际势论会上，Ilpo Laine作了《公理化非线性位势论》的综合报告，总结了他本人及P．Lindqvist、O．Martio和P．Lehtola等人的工作；1990年国际位势论会上，E．M．J．Bertin等人又做了关于非线性与拟线性位势论的研究报告。F．Y．Macda等许多位势论名家现在都对非线性系统表示了很大兴趣。
函数论中的位势论 从函数论中脱胎出来的现代位势论反过来促进了函数论的发展。
1985年美国《当代数学》杂志以Riemann曲面为题介绍了张鸣镛等中国学者的研究工作，张鸣镛的工作主要体现在共形映射与极大Riemann曲面的研究，其它的有关于理想边界(吴炯圻)、Riemann曲面分类(邱曙照)、广义对数位势(张洵)、下调和延拓(龚显宗)、细解析函数与细边界极限(高琪仁、林勇)等工作。日本许多学者关于函数论中的位势论一直有很好的结果，S．Sakai等对求积域也有深入研究。1987年David Drasin在主要采用拟共形映射与位势论相结合的方法，出色地解决了F．Nevanlinna的一个猜想，在数学界有较大影响。
目前这个方面的一个热点是美籍华人吴徵眉(J．M．Wu)以及N．G．Makorov所进行的关于边界畸变、边界密度与Green函数、调和测度的性质等与共形映射及几何测度论有关的研究。在1990年的国际位势论会上，他们各自的特邀报告受到与会者的一致关注和欢迎。
概论位势论 除在上述特点2中谈及外，1990年法国C．Dellachriè和G．Moko．djki分别发表了《Hunt过程的非线性模式》和《位势论与遍历收敛定理》，对这个领域的发展产生深刻影响。近年来J．C．Taylor、K．Ito、B．ΦKsendao等人关于Brown运动和扩散过程的研究仍引人注目。
非局部紧Abel群上的位势论的研究也有新的发展。国内王梓坤等以及武汉大学一批学者对这个方向的发展作出了重大贡献，吴春章1989年也发表了有关的研究。
泛函、微分方程同位势论的结合
(1)各类方程的研究始终与位势论的方法与内容相结合。1990年国际位势论会上，美国C．E．Kenig的特邀报告《非光滑系数的椭圆方程的Dirichlet问题与Neumann问题》及会上W．Hansen等人关于Schridinger方程(算子)的论文都集中探讨了位势论性质。
(2)LP位势论是一个新发展起来的专题。
例如，1990年美国D．R．Adan发表的《LP位势论方法与非线性PDE》，瑞典L．1．Hedberg发表的《非线性位势论》，都采用了LP方法。
(3)其他，近来关于Soblev空间、Hilbert空间、Hardy空间、一般线性拓扑空间、关于积分方程和其他算子(如Helmholty算子)的研究都有许多与位势论相结合的内容。
总之，从当前位势论的发展趋势来看，今后，它与相邻数学分支的相互渗透和结合必将进一步深入，这将导致此前有关领域的一些猜想和难题的解决；公理系统特别是非线性公理系统将有新的突破；位势与概率的结合有广阔的前景，它将大大超过当前的范围。
。【参考文献】：1 Brelot M. On Topologies and boundaries in potential theory. Springer, 1971
2 Constantinescu C,Cornea A. Potential theory on harmonic spaces. Springer, 1972
3 王梓坤．布朗运动与位势．北京：科学出版社，1983
4 吴炯圻．数学年刊，1983，A(6)∶689～698
5 Doob I L. Classical potential theory and its probabilistic
counterpart. Springer, 1984
6 Zhang Mingyong. Amer Math Soc, 1985,151～155
7 Zhang Yiping. C R Acad Sc Paris, 1987
8 高琪仁．数学年刊，1989，10A(3)∶328～332
9 Wu Jiongqi, Gao Qiren. Potential Theory - Proceedings of the International Conference on Potential Theory. Berlin; Walter de Gruyter, 1992,361～365
10 Bliedtner J，Hansen W着．位势论～～扫除之分析与概率方法．高琪仁、吴炯圻译．厦门：厦门大学出版社，1993
(福建漳州师范学院吴炯圻副教授撰；高琪仁审)