随机幂级数及指数级数

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第71页（3656字）

幂级数及指数级数分别是下列形状的级数：

其中系数a_n是复常数，z及s是复变数；(1)及(2)也分别称为泰勒(Taylor)级数及狄里克莱(Dirichlet)级数，分别有收敛圆盘｜z｜＜r(0≤r≤+∞)及收敛半平面R_es＜c(－∞＜c＜+∞)。

当级数(1)及(2)中的系数是概率空间(Ω，，P)上的随机变量时，它们分别称为随机幂级数及指数级数。在理论上，这类级数具有很有意义的独特性质。在应用中遇到幂级数及指数级数时，其系数往往不能确切给出，因而随机系数情形的研究对于应用也很有意义。

波莱尔(E．Borel)于1896年猜测：一般说来，泰勒级数的收敛圆是它的自然边界，即收敛圆上每点都是奇异点。1929年，斯泰因豪斯(H．Steinhaus)证明了：如果(1)的收敛半径r满足0＜r＜+∞，并且如果Z_n(ω)=e^i2πθ_n(ω)，其中θ_n(co)是在［0，1］上均匀分布的独立随机变量，那么

的收敛圆几乎必然(简写为“a．s．”)是，而且它a．s．是f(z；ω)的自然边界。所谓“几乎必然”指的是有关事件实现的概率是1。

巴莱(R．E．A．C．Paley)和齐格蒙德(A．Zygmund)在1931年证明了在｛Z_n(ω)｝是拉德马赫(H．Rademacher)序列、即Z_n(ω)是取1及－1的概率都是1／2的独立随机变量时，上述结论仍然成立。他们还把这结果推广到随机指数级数：

并且研究了f(z；ω)的增长性。

由上述结果，可见波莱尔的猜测是正确的。由于某些缺项幂级数或指数级数以收敛圆或收敛直线为自然边界，可见随机幂级数或指数级数与前者有相似之处。

里尔－纳捷夫斯基(C．Ryll-Nardzewski)在1953年证明了当(1′)中｛a_nZn(ω)｝是一般独立随机变量时，或者f(z；ω)的a．s．自然边界是a．s．收敛圆或者有复系数幂级数，使得f(y，w)减去它而得的随机幂级数以其a．s．收敛圆作为a．s．自然边界。

阿福特(A．C．Offord)和李特尔伍德(F．E．Littlewood)在1948年证明了当f(z)是ρ级(0＜ρ＜+∞)整函数，｛Z_n(ω)｝是拉德马赫序列时，f(z；ω)a．s．是ρ级整函数，而且a．s．从原点出发的每一条射线是f(z；ω)的无例外值的波莱尔方向，即在以这种射线为平分角线的任何角形(顶点在原点)内，f(z；ω)取任何有限复数值足够多次。

余家荣在1950年证明了：当g(s)是某些有里迪(J．F．Ritt)级(简称(R)级)ρ(0＜ρ)的整函数，｛Zn(ω)｝是斯泰因豪斯或拉德马赫序列时，按照ρ=+∞或者＜+∞，a．s．每一条水平直线都是g(s；ω)的波莱尔线，或者在宽度为π／ρ的任何水平带形内有g(s；ω)的一条水平波莱尔线。但对这些波莱尔线不能断定是否有例外值。

在20世纪60～70年代中，有关研究继续发展。

阿诺尔德(L．Arnold)在1966年用｜a_nZ_n(ω)｜的分布函数F_n(x)表示出(1′)的收敛半径r_c(ω)a．s．所取的值，而且在F_n(x)=F(x)，F(+0)＜1时，证明了一种零一律，即

卡昂纳(J．-P．Kahane)在1968年明确了里尔－纳捷夫斯基的结果，证明了当｛a_nZ_n(ω)｝是独立、对称的随机变量时，f(z；ω)的a．s．收敛圆是a．s．自然边界，还把这结果连同其他结果推广到(2′)。

当｛Z_n(ω)｝是高斯(Gauss)序列，即Z_n(ω)是独立的、期望为0、方差为1的高斯复随机变量时，按照∑｜a_n｜²＜+∞或=+∞，卡昂纳分别得到了f(z；ω)的一些重要的极限限性质和值的分布性质。

当｛Z_n(ω)｝是斯泰因豪斯序列，(1)的收敛半径是1，∑｜a_n｜²=+∞，阿福特证明了f(z；ω)a．s．没有有限亏值，即函数可取任何有限复数值足够多次。

余家荣在1978年把阿诺尔德的前述结果推广到(2′)。他引进了右半平面内解析函数的(R)级，得到了推进零一律的结果。

他还证明了：当，，log⁺｜a_n｜／logn)=ρ／(ρ+1)(0＜ρ＜+∞)，｛Z_n(ω)｝是拉德马赫或斯泰因豪斯序列时，f(z；ω)的收敛横坐标a．s．是0，f(s；ω)在Res＞0内a．s．有(R)级ρ，并且a．s．Res=0上每一点都是波莱尔点，即在这样的点的任何邻域内，函数取任何有限复数值足够多次，至多有一例外。但这些点的级以及关于它们是否没有例外值，在当时还不能确定。

从80年代开始，有关研究得到了进一步的发展，解决了一些以往没有完全解决的问题。

米拉伊(T．Murai)和卡昂纳在1983～1984年证明了阿福特的前述结果在｛Z_n(ω)｝是高斯序列时仍然成立。

要使得这结果在｛Zn(ω)｝是拉德马赫序列时成立，米哈伊在1981年加上了条件inf｛｜a_n｜｝＞0，雅可布(M．Jacob)和阿福特得到了改进的条件，孙道椿和刘全升则加上了条件。

孙道椿和余家荣在1988年引进了一种更广泛的随机变量序列，即N序列，它包含拉德马赫、斯泰国豪斯以及高斯序列作为特例。他们在1990年明确了余家荣关于波莱尔点的成果，证明了在前述假设下，而｛Z_n(ω)｝是N序列时，a．s．Res=0上每一点都是无例外值的ρ+1级波莱尔点。对于无穷级与更广泛的级的情形，也有类似结果。

对于(1′)及(2′)所定义的随机整函数，也可按同样想法进行研究，从而改进阿福特与李特伍德以及余家荣的有关成果。

现在随机幂级数及指数级数的研究已取得了不少成果，特别是值分布方面的成果比较显着。

还有许多有待进一步研究的课题，例如(1)已有成果对于N序列是否都能成立?对其它序列呢?(2)随机幂级数及指数级数是否有与缺项幂级数及指数级数相应的其他性质?(3)随机拉普拉斯变换是否有一些类似性质?(4)随机级数空间的研究。(5)随机级数有关成果的应用的探讨，等等。

。【参考文献】：

1 Steinhaus H. Math Z, 1930,31:408 ～ 416

2 Paley R E A C, Zygmund A. Proc Cambridye Phil Soc, 1930～1932

3 Littlewood J E, Offord AC. Ann of Math, 1948,49:885 ～ 952,1949,50,990～991

4 Yu Chiayung. Annales Ec Norm Sup, 1951,68(3) :65～104

5 Arnold L. J r and angew Math, 1966,222:356 ～ 365

6 Offord AC. Studia Math,1972,41:71～106

7 Mruai T. J London Math. Soc,1981,24:480～494

8 Kahane J P. Some random series of functions. Cambridge Univ. Press, 1985

9 Sun Daochun, Yu Jiarong. Chin Ann of Math, 1990,11B: 33～44

10 余家荣．数学进展，1990，19：257～264

(武汉大学余家荣教授撰)