Fuzzy度量空间和Fuzzy拓扑空间的度量化

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第83页（3794字）

度量空间和拓扑空间的度量化理论是拓扑学中的基本理论。

在Fuzzy拓扑学中，情形也是如此。由于层次结构的影响，使得这一研究更具复杂性和技巧性。

在Fuzzy拓扑学中，度量概念有各种观点。但具有丰富内容且至今被认为是十分成功的度量理论是循B．Hutton和M．A．Erceg引入的度量而发展的。

1977年，在Fuzzy一致结构的基础上，Hutton称：

Z上的一个Fuzzy拟伪度量是L^Z上的一个映射族D=｛D_，：L^Z→L^Z，r＞0｝满足条件(A1)→(A4)；若D还满足(A6)，则称为Z上的一个Fuzzy伪度量。这里

(A1)，

(A2)D_，(A)≥A，

(A3)，

(A4)D_r·U_s≤D_r+s

(A6)D_r=Dr^－1。

Z上的Fuzzy(拟)伪度量拓扑定义为以｛Dr(A)：r＞0，A∈为基生成的Fuzzy拓扑，并且被Hutton证明。

一个Fuzzy(拟)一致空间(L^Z，D)可(拟)伪度量化，当且仅当具有可数基。

1979年，Ercey从推广子集间的Hausdorff距离入手，引入了Fuzzy(拟)伪度量的概念：

Z上的一个Fuzzy拟伪度量是一个映射P：L^ZxL^Z→［0，∞］满足下面条件(M1)→(M4)：

(M1)，，

P(A，A)=0，，，。

(M2)P(A，C)≤P(A，B)+P(B，C)，，

(M3)，

(ii)，。

(M4)设，若由；则由。

对每个r＞0，可自然联系一个映射D_r：L^Z→L^Z，D_r(A)=V，称｛D_r：r＞0｝=D_p为p的相关邻域映射族，若还满足(A6)，则称P为Z上的Fuzzy伪度量。

Fuzzy(拟)伪度量拓扑仍如Hutton所定义的。Ercey指出，D_p是Hutton意义下的(拟)伪度量。从而从拓扑角度来看，Hutton引入的Fuzzy(拟)伪度量空间等价于Ercey所引入的。梁基华等指出，从度量角度来看，这两个概念是不等价的，并证明：

Ercey的Fuzzy拟伪度量由满足条件(A1)→(A5)的映射族｛Dr：r＞0｝唯一确定且条件(A5)独立于(A1)→(A4)．这里：(A5)。

每个Fuzzy伪度量空间是正规的。Hutton在Fuzzy单位区间上构造了标准伪度量，其伪度量拓扑恰是其上的标准拓扑。

与通常拓扑空间中的情形类似，1983年证明可数个可(拟)伪度量化的Fuzzy拓扑空间的积空间是可(拟)伪度量化的；若格值L具有可数生成集，则每个Fuzzy拟伪度量空间是Q-C₁的；并且给出了Uryschn’s度量化定理的Fuzzy推广：

具有可数基的Fuzzy拓扑空间(L^Z，δ)是可伪度量化的，当且仅当(L^Z，δ)是正规是空间。

不久，刘应明利用嵌入定理给出了这一结果的一种简洁证明。

Hutton和Ercey关于Fuzzy度量空间的工作被公认为“无点派”的优秀成果。

但是Fuzzy(拟)伪度量作为映射族比较复杂，尤其对称性不具几何直观，难以进行深入研究，因而希望对此进行直观描述。

另一方面，Fuzzy伪度量是否具有通常伪度量的点式表示，是Fuzzy度量理论研究中饶有趣味的。Ercey(1979)首先考虑这一问题，但却未能成功。

1983年，Hutton利用Fuzzy格的范畴积给出了Fuzzy伪度量的一种点式表示，由于范畴积结构的复杂性，依然不便使用。1987年，梁基华等建立了如下颇具几何直观的点式度量。

称映射d：P(L^z)xP(L^Z)→［0，∞］是L^z上的一个点式(拟)伪度量，若d满足如下条件((P1)-(P3))(P1)→(P4)。这里P(L^Z)表Z上的Fuzzy点全体且

(P1)若，则d(xλ，xβ)=0

(P2)对xλ，yβ，，，存在使d(xλ，zγ)＜d(xλ，yβ)+r

(P3)若，则，且

(P4)d(xλ，yβ)=d(yβ，xλ)

并且我们证明了上述点式(拟)伪度量等价于Ercey给出的(拟)伪度量。

利用这种有点式刻划，梁基华给出了Fuzzy(拟)伪度量空间可数乘性的构造性证明，说明Fuzzy(拟)伪度量空间中的网收敛可用此点式度量直观描述；特别是给出了Fuzzy拓扑空间的Smirnov-Nagata度量化定量：

具有σ－局部有限基的正则Fuzzy拓扑空间是可伪度量化的。

根据罗懋康(1985)构造的反例可知上述结论的逆命题一般不成立。

从而寻求当格值L满足什么条件时能使上述结论的逆命题成立，也是一个值得进一步考虑的问题。

对于拓扑生成的Fuzzy拓扑空间，1990年，梁基华得到了更完美的结论：

1．拓扑生成的Fuzzy拓扑空间(L^Z，δ)是可伪度量化的，当且仅当它的底空间是可伪度量化的。

2．若L具有可数生成集，(L^Z，δ)是拓扑生成空间，则下面几条等价：①(L^Z，δ)是可伪度量化的；②(L^Z，δ)正则且具有σ－离散基；③(L^Z，δ)正则且具有σ－局部有限基。

最近，彭育威对Ercey的Fuzzy拟伪度量定义进行了简化，证明：

映射P：L^Z×L^Z→［0，∞］是Ercey意义下的(拟)伪度量的充要条件是P满足如下条件((B1)-(B3))(B1)-(B4)

(B1)

(B2)P(A，C)≤P(A，B)+P(B，C)

(B4)若等价于若A′。

这里表x_λWaybelow于A。

当上述P限制在分子集上时，也可给出拟伪度量另一种点式刻划。

最后应该指出，虽然对Fuzzy(拟)伪度量的研究取得了较大的进展，但还有许多工作有待进一步深入，例如，Fuzzy伪度量空间与Fuzzy仿紧空间之间的协调关系、Fuzzy紧伪度量空间的研究，各种度量化定理的Fuzzy表现等。

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【参考文献】：

1 刘应明．中国科学(A辑)1982；8

2 Uniformities on fuzzy topological spaces．Part Ⅱ，Fuzzy Math．1983．3(1)

3 梁基华．数学年刊，1985．6A(1)

4 罗懋康．四川大学学报(自然科学版)，1985，4

5 Liu Ying-Ming．The analyses of fuzzy information(Ed J C Btzdek)1986，4

6 梁基华．数学学报，1987．6

7 王国俊．L-Fuzzy拓扑空间论．西安：陕西师范大学出版社，1988

(四川大学梁基华撰)