区间动力系统的强健稳定性
出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第122页（4413字）
强健性是近年来许多数学分支的热门话题。
所谓强健性，常常可以定义为一个动力系统的某些固有性质在特定的结构扰动下的不变性。李雅普诺夫(Liapunov)意义下的强健稳定性便是一个动力系统在指定的结构扰动下的不变的李雅普诺夫稳定性。这类问题有很强的实际背景，因为数学模型描述一个实际动态过程每每是近似的，或因测量与计算的误差，或为了必要的简化，常有建模误差以及随环境变化的参数扰动，故研究实际问题时对一个不确定动力系统(或微分包含，或多值微分方程)的强健行为比对一个确定性系统的灵敏的定性性质更有兴趣。
李雅普诺夫意义下的强健稳定性主要研究以下两方面的问题：
1．给定一个动力系统及它的参数变化范围(一般为区间)，研究该系统在允许的参数扰动下的稳定性，例如：研究微分包含：
的稳定性，其中
不确切知道，
为已知，i=1，2，…，m．
2．给定一个确定的稳定系统，求出不改变稳定性的最大允许扰动界限［也称强健稳定度］，例如，已知未扰动系统
具有某种稳定性，期望其不确定的扰动系统
具有相同的稳定性，其中扰动g(t，x)不确切知道，仅知‖g(t，x)‖≤k‖f(t，x)‖，向量究竟允许多大?
1978年前苏联学者卡得诺夫［Khartionov］首先研究了区间多项式
：
fn(z)=zn+a1zn－1…+an (4)
的强健稳定性，其中
不确切知道，仅知区间端点
，
。记
为
(5)显然，
与
分别有无穷多个，2n个多项式。卡得诺夫证明了下列有趣的结论：
定理1．
中全体为霍尔维茨(Hurwitz)［简称H］多项式等价于
中全体为H多项式。
定理2．
中全体为H多项式，当且仅当
中特定的4个为H多项式。
这两个定理是区间多项式强健稳定性的奠基性工作。无穷多个多项式的H稳定性居然等价于4个特定的多项式的H稳定性，无论从理论上还是从应用上讲都是令人满意的。
由于证明原定理很繁琐，1987年耶里(Yerry)利用哥西(cauchy)幅角原理和fn(z)之根对系数的连续依赖性简化了卡得诺夫的证明。
安得逊(Anderson)等人还证明了当(4)中n=2，3，4或5时，可分别用特定的1，1，2，3个多项式代替定理2中的4个多项式。但当n≥6时，4这个数不能再减少。
与(4)式的强健稳定性相反的一个问题，是H多项式的强健度问题，即给定一个H多项式：
fn(z)=anzn+an－1zn－1+…+a0， (6)
令ai改变±δai(i=0，1，…，n)，要求寻找尽可能大的Δai，使当｜δai｜≤Δai(i=1，2，…，n)时扰动多项式：
fn(z)=(an±δan)zn+(an－1±δan－1)zn－1+…+a0±δa0 (7)
仍为H多项式，这个Δai称为fn(z)的强健度。不少学者分别用H氏代数方法、奈魁斯特(Nyquist)几何方法以及复函中的儒施(Rouche)定理研究(6)的强健稳定性。
还有一个问题是研究H多项式簇的凸性问题，给定两个同项的H多项式f1(z)和f2(z)，它们的凸组合
fλ(z)=(1－λ)f1(z)+λf2(z)， λ∈［0，1］
是否仍为H多项式?若是，则可由两个H多项式凸组合派生出一类H区间多项式，且为H稳定的证明提供简便方法。但有反例表明，凸组合保持H稳定性不变是有条件的，巴里米什(Barmish)给出了m个同项多项式P1(z)，…，Pm(z)的多胞形
(
，ri≥0)为H稳定的充要条件。
若将(4)式与Rn中向量(a1，…，an)对应，则研究(4)式的强健稳定性可视为研究Rn中的一个超矩形的稳定性。黄琳等得到一般的多胞形的稳定性可由相应的超矩形的棱，顶点的稳定性来确定的结果。
当(4)式作为定常线性离散动力系统的特征多项式簇时，自然要研究(4)式的斯萨［Schur］稳定性［简称S稳定］，即fn(z)的所有零点在｜z｜＜1内。人们猜想：
与
的S稳定性等价。
赛斯克(Ciesik)证明猜想是正确的，但当n＞3时有反例，从而表明猜想失真。
为S稳定的充要条件为何，至今未知。虽然原则上可用双线性变换化
的S稳定性为另一类区间多项式
的H稳定性研究，然而极难实现，因为两者系数对应关系太复杂。
的S稳定性之所以没有类似于定理1，2的结果是因为H多项式系数均同号，S多项式没有类似的必要条件。
豪克洛特(Hoklot)等人研究了S多项式的多胞形保持S稳定性不变的条件。也有人研究S多项式的强健度。但无论从研究的深度还是从所获得的结果看，对
的S稳定性比H稳定性的研究逊色多了。
考虑连续或离散的区间动力系统：
，x∈R”， (8)
自然要研究区间矩阵
的H，S稳定性，这里
，
已知，A(aij)n×n不确切知道，仅知
。
令
表由端点
，
，i，j=1，2，…，n组成的矩阵全体，显然
有无穷多个，
最多有2n2个。
有人着文断言
与
的H稳定性等价，S稳定性等价，但随后就有人举反例否定这些结论，且指出其证明错在何处。
到目前还只得到
为H稳定，S稳定的一些充分条件。充要条件是什么，至今未知。
对于H矩阵，S矩阵同样有人研究H稳定的强健度，5稳定的强健度，也同样有人研究其多胞形的H稳定性，S稳定性，其方法大多数是用李雅普诺夫函数或矩阵特征值估计法。
将这些思想推广到时滞系统、中立型系统，也有不少类似的工作。
从稳定性理论的发展史可看到，人们早就注意到了研究始值与系统的结构同时扰动下的稳定性(即经常干扰下的稳定性)比李雅普诺夫稳定性更有意义，它与今天的强健稳定性类似。为何前者已少有人问津，后者则成为热门话题?因为在很一般的条件下，经常干扰下的稳定性与李雅普诺夫一致渐近稳定性等价。
此外，经常干扰下的稳定性定义中的两个扰动区域只求存在，不计大小，而实际问题中，要求扰动区域为额定。拉萨尔(Lasalie)和莱夫赫茨(Lefschitz)提出了实用稳定性概念，更接近于现在的强健稳定性，但在一段相当长时间内响应者很少，固然是由于提法过于一般，更重要的是未得到更多的实际问题的支持。
最近，拉克什米堪森(Lakshmkantham)等人重新提出实用稳定性，将拉萨尔等人的实用稳定性定义的两个集合予以量化，随后写了一本书。
系统的所谓关联稳定性，非减性控制系统的绝对稳定性等等都可视为强健稳定性的雏型。
从已有的论文看，除
的H稳定研究彻底外，其它方面则尚逊色，已有的结果，或条件太复杂，或结果较保守。如何克服条件的复杂性及降低结果的保守性，恐怕还有很多工作可做。
强健性概念还可期望推广到其它领域，如生态系统、神经网络系统、常微结构稳定性，甚至在偏微分方程、偏泛函微分方程、随机微分方程中引述强健度，也不无意义。
。【参考文献】：
1 Lasalle J, Lefschtz S. Stability by Liapunov's Direct Method with Applications, New York: Academic Press, 1961
2 Khartionov V L. Differentialnye Uravneniya ,14(11)
3 YeungKS. Int J Control,1983,38(2) :459～464
4 Barmish B R. IEEE Transaction on Automatic Control,1984,29(10):935～946
5 Hoklot C C, Bartlet A. IEEE Transaction on Automatic Control,1986,31(1) ,355～357
6 Yerry K S, Wang S S. IEEE Transaction on Automatic Control ,1987,32(9) ,818～823
7 Aderson B D O, Jury E L. IEEE Transaction on Automatic Control,1987,32(10):909～913
8 Huang L. Hollot C V, Batlett C. Int J. Control, 1987,45 (2):649～660
9 Ciesik J N. IEEE Transaction on Automatic Control, 1987, 32(3):237～238
10 Lakshmikantham V, Leela S, Martynyuk A A. Stability Analysis of Nonlinear Systems, New York and Basel par-cel DekkerInc,1989
(华中师范大学廖晓昕教授撰)