生产函数

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第129页（4946字）

当代西方经济学，特别是微观经济学中广泛使用的一个概念。

它表示一家厂商(或整个社会)所投入的生产要素(劳动、资本和土地等)的某一种组合同它所能得到的最大数量的产出之间的依存关系。如果用P代表总产量，a、b、c、…、n代表各种不同的生产要素的投入量，则生产函数的公式为：P=f(a、b、c、…、n、)。

这表明总产量P决定于各种不同的生产要素a、b、c、…、n等在一定时间内的投入量。

从生产要素的组合比例及其与产出的关系，可以看出一个厂商(或整个社会)的生产技术情况。

关于生产函数的发端，西方有些经济学者认为可以上溯到古典政治经济学创立的初期。18世纪70年代，亚当·斯密(Adam Smith)在《国富论》一书中研究分工时，关于“针”的制造就是运用生产函数的概念来分析投入与产出关系的。但只是到了19世纪末20世纪初，西方经济学者才开始利用数理公式表达生产函数。

1901年，瑞典经济学家威克塞尔(K．Wicksell)在他的主要着作《政治经济学讲义》第1卷，提出了生产函数的公式为P=a^αb^β(其中a、b为生产要素，指数α+β=1)。

1928年，美国数学家柯布(C．W．Cobb)和经济学家道格拉斯(P．H．Douglas)在其论文“关于生产的一种理论”中，充分运用了威克塞尔的上述创见。紧接着在1934年，道格拉斯在其知名着作《工资理论》(The Theory of Wages)中，特别邀请了长于数学的友人柯布为他的理论设计出下述公式：P=bL^kC^1－k(式中L、C分别指一定时期内劳动和资本的投入量，P指和他们相对应的生产量，b和k为常数，b≠0，0＜k＜1)。

这就是着名的“柯布－道格拉斯生产函数”(C－D函数)。经过对数变换，并根据1899～1992年美国制造业资本和劳动对生产影响的历史资料，进行最小二乘估计的结果得到b=1．01，k=0．75。

由此得到C－D函数的估计式为：P=1．01L^0．75C^0．25。这表明，每增加1%的劳动所引起的产出的增长，将三倍于每增加1%的资本所引起的产出的增长。

这一结论被认为与美国这一时期工资收入与资本收入之比(3∶1)大体相符。

C－D函数首次将经济数学和模型的方法引入生产分析，在西方经济学界引起巨大反响。

它使经济学家们从抽象的纯理论研究转向了实际生产的经验分析，并为这一领域的进一步发展奠定了基础。在随后兴起的计量经济学中，它也得到了广泛深入的应用。但是，由于C－D函数仅能描述在某一恒定的技术水下下投入量与产出量的的关系，因而就使它在分析技术进步作用方面显得无能为力。1942年，荷兰经济学家丁柏根(Jan Tinbergen)对C－D函数进行重大改进，将其中的常数b换成一个随时间而变化的量A_t，即P=A_tL^kC^1－k。A_t代表某一时期的技术水平，L、C和P是时间t的函数。这样，技术进步对产出的影响就可以表现出来了。

50年代中期，美国经济学家索洛(R．M．Solow)提出以增长速度方程为模型，用“余值法”测算技术进步，进一步赋予生产函数新的生命力。索洛所生产函数写成下面的一般形式：P=F(C、L；t)，t是时间变量；F是可微分函数。

在希克斯(J．R．Hicks)中性技术进步的条件下，上式可变为：P=A_tf(C、L)。A_t表示t时

期的技术水平。对上式求全微分并在两端除以P，令，，得到产出增长速度方程：(其中符号′表示对时间的导数)。它表明，产出的增长是由资本、劳动投入量的增加和技术水平的提高带来的。

在α、β确定之后，技术进步速度便可通过“余值”测算出来。余值法的最大优点，就是无需对生产函数的具体形式做任何假设，就可以对技术进步的作用做出定量的估计。索洛的余值法问世以来，各国学者纷纷采用他的方法(或将其方法与C－D函数相结合)，去分析各国的经济发展状况。

1961年，美国经济学家阿罗(K．J．Arrow)与索洛等3人合作，提出固定替代弹性生产函数，即CES(constant elasticity of substitution)生产函数，使生产函数的理论有了新的突破。

CES函数的形式为：P=A(δL^－ρ+(1－δ)C^－ρ)^－μ／ρ。它是一族函数，包括C－D函数和里昂惕夫(W．Leontief)生产函数。阿罗等人的主要贡献在于，把人们对于生产函数的认识从产出对投入要素的弹性和规模报酬(μ)推广到包括替代弹性和分配系数δ的新函数形式。当劳动支出在总成本中占的比例越来越大时，研究投入要素之间的替代弹性就更具有一定意义了。

1968年，萨托(R．Sato)和霍夫曼(R．F．Hoffman)推导出变替代弹性(VES)生产函数其中，；；B＞0，为积分常数；在完全竞争的假设下，为替代弹性，β(k)=1－α(k)；因此只要可积，就可以得到显式的生产函数。VES函数的优点是释放了CES函数要求替代弹性必须为常数的限制。

1973年，克里斯腾森(L．R．Christenson)、乔根森(D．W．Jorgenson)和刘遵义(L．J．Lau)3人提出超越对数(transcenden tal loyarithmic)生产函数(简称Translog函数)。这种函数假设有n种生产投入(X₁，X₂，…X_n)，一种产出P，则：，式中a、α_i、γ_ij都是待估系数，其中γ_ij=γ_ji。

如果只考虑两种投入要素L和C，那么translog函数应为：

lnP=a+αlnL+βlnC+γlnLlnC+δ(lnL)²+ε(lnC)²

实际上这是C－D函数的一种扩展形式，当γ=δ=ε=0时，上式退化成C－D函数。

1980年Y．Sheinin提出了三级CES生产函数，把劳动L、资本C、能源E和原材料M4种要素都放到生产函数中进行研究。这种函数的形式如下：

J=(a₁C^－P₁+a₂E^－ρ₁)^－1／ρ₁、V=(d₁J^－ρ2+b₂L^－ρ₂)^－1／ρ₂、P=A(c₁V^－ρ₃+c₂M^－ρ₃)^－1／ρ₃

合成一式则有：P=A｛c₁［b₁(a₁C^－ρ₁+a₂E^ρ₁)－ρ₂^／ρ₁+b₂L^－ρ2］ρ₃^／ρ₂+c₂M^－ρ₃｝^－1／ρ₃

改变4种要素在函数中的位置，可以得到不同形式的三级CES函数。由上式可知，各要素之间的替代弹性不再是等同唯一的了。

除上述之外，有些西方经济学家还提出了一些其它的生产函数表达式，如泽尔纳(A．Zellnev)和雷卡发(N．Revankar)在1969年建立的广义生产函数(GRF)，具有和CES函数相同的替代弹性，但规模报酬是可变的，并且是按照预先给定的方式随产出的变化而变化，即规模报酬是产出的函数。还有A．N．Halter、H．O．Carter和J．G．Hocking等人在1957年提出的超越生产函数(transcendental production function)及Nerlove和Ringstad在1967年提出的Nerlove-Ringstad生产函数等。

由于这些函数都与C－D函数有一定的关系，故被称为C－D函数的扩展形式。

有关生产函数的理论是建立在微观经济基础上的，要研究全国的生产情况，即把单个企业(或部门)的生产函数加总形成总量生产函数时，则需要很强的假设条件。

许多学者对此进行了深入研究，在这方面的主要成果有：1955～1956年，H．S．Houthakker从“有效分布”角度出发，研究了总量生产函数的存在性。在企业的生产函数是固定比例的假设下，Houthakker证明企业生产函数系数的差异(有效分布)满足帕累托(Pareto)分布、对应的总量生产函数是C－D型函数。1964年，格林(H．A．J．Green)证明，当所有微观变量可取任意正数时，微观生产函数可以加总成总量生产函数的充分必要条件是所有的微观函数都是可分相加性函数。在此条件下形成的总量生产函数也是可分相加性函数。

1964～1965年，格林、索洛与菲希尔(F．M．Fisher)分别研究了不考虑相加性假设条件时，总量生产函数的存在性。他们得出的共同结论是，在每一个企业的有效生产(成本最小)的条件下，当且仅当所有微观函数有相同的函数形式，并且它们都是一阶奇次函数时，总量生产函数存在。

1968年，莱弗豪利(D．Levehari)扩展了Houthakker的成果。通过密度函数，从固定比例的两个要素的微观生产函数得到了宏观的CES函数。

1975年，萨托(K．Sato)提出，如果①所有的企业都生产一种同质产品；②所有企业的生产函数都相同，仅生产要素的系数不同。设4个生产要素的微观生产函数形如A=F｛α_iC_i，β_iL_i，γ_iE_i，δ_iM_i｝，对于所有的i(企业)皆相同；其中α_i、β_i、γ_i和δ_i分别表示C_i、L_i、E_i、M_i的有效系数；③每一个企业的资本量固定；④有效系数α_i、β_i、γ_i和δ_i固定；⑤每一个企业的生产在最优条件(给定资本量时利润达到最大)下进行，这些条件满足，那么必然存在与有效系数有关的分布函数。萨托认为从这个分布函数可以证明短期总量生产函数确实存在。

80年代以来，我国的经济理论工作者也开始利用生产函数来研究和分析经济、生产等问题。

这方面的研究主要集中在：关于测定技术进步在产出增长中的贡献；关于全要素生产率的研究；利用生产函数模型进行企业和部门的经济预测；建立宏观经济模型等。

生产函数理论和方法的研究中存在的问题主要有：(1)对投入要素变量数据的处理和参数估计问题。(2)如何使约速性较强的生产函数与实际情况拟合。(3)关于资本与劳动产出弹性的测算问题。

(4)关于提出新的生产函数表达式等等。

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【参考文献】：

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2 Sato R, Hoffman R F. Review of Economics and Stitistics, 1968,50:453～460

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6 谢千里，罗斯基，郑玉歆．数量经济技术经济研究，1990，8：22～31

(哈尔滨工业大学刘静副教授撰；尹缙瑞审)