结构动力学修改重分析

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第137页（6618字）

在结构／机械系统设计过程中，越来越重视系统的动态特性预测和改进，以便尽早发现和预防可能出现的有害振动问题，进而实现系统动态特性的最优设计。

但是，许多大型复杂结构的有限元模型往往具有数千上万的自由度，难以实现反复许多次的结构修改重分析。然而，这种结构修改设计和重分析过程具有两个重要特点：其一是每步修改后的结构与前一步所分析的结构之间一般只有较小的差别；其二是每步修改一般只在结构的少数自由度上或较小的区域内进行。

这为简化重分析计算过程提供了极有利的条件，从而得以在此基础上发展出高效的重分析方法。“结构动力学修改”就是以结构振动特征值问题的高效重分析方法和结构(修改)重设计技术的理论及应用研究为主要内容的一个结构动力学分支。

它显然包括两个方面：其一是正(修改)问题，即在给定结构修改型式和已知修改前结构的振动模态参数的条件下，应用高效重分析方法确定修改后结构的振动模态参数，一般称之为结构动力学修改重分析问题；其二是逆(修改)问题，即在已知修改前结构的振动模态参数并预定修改后结构的振动模态参数的条件下，应用约束最优化设计方法等确定结构修改型式，一般称之为结构动力学修改重设计问题。另外还有一类逆修改问题，即根据结构振动模态参数的有限元分析结果和实验测量结果对有限元模型的参数(矩阵)进行校正，一般称之为结构动力学分析模型修正问题，它与结构动力学修改重设计问题在数学求解方法上十分相似。

结构动力学修改是结构动力学领域极为活跃的一个分支，对它的正问题和逆问题均有大量的研究文献和成果，而且两者基本上是互相独立发展的。下面简述已较成熟的正修改重分析问题的研究概况。

考虑结构振动分析的有限元模型的特征值问题，当不计阻尼时，设对修改前的(原)结构有如下实模态线性广义特征值问题(K₀-ω_oi²M₀)x_0j=0 (1)

其中质量阵M₀一般是对称正定实矩阵，刚度阵K₀一般是对称正定或半正定实矩阵。

方程(1)的解给出以特征值(固有振频的平方)为对角元的特征值(对角)矩阵和以特征向量(固有振型)x_0i为列的模态矩阵X₀。

对修改后的(新)结构则有 (2)

M=M₀+ΔM K=K₀+ΔK (3)

其中‖ΔM‖《‖M₀‖‖ΔK‖《‖K₀‖

而且质量修改矩阵ΔM和刚度修改矩阵ΔK一般均包含许多零元。设结构修改不导致结构构形变化，则原结构的特征向量是新结构特征空间的一组完备向量基，因此可将方程(2)变换到模态坐标系中，即引入模态变换X₁=X₀z_i并前乘以，记，得 (4)

其中利用了特征向量的正交正规化条件， (5)方程(4)是结构动力学修改问题的一般表达式。

为避免用常规算法直接求解方程(4)(亦即方程(2))，需要根据对结构所采取的实际修改措施的特点和方程(1)、(2)的特征解的性质，对方程(4)做适当的简化，进而探索高效求解方法。在此方面已取得很大进展，众多的研究者先后提出和发展了许多不同的结构动力学修改重分析方法，可将它们归为3类，即基于小修改的方法、基于局部修改的方法和基于模态缩减的方法。

基于小修改的结构动力学修改重分析技术又包括3种不同的方法：即瑞雷(Rayleigh)商方法、灵敏度方法和摄动方法。瑞雷商方法是最简单的特征值快速重分析技术，它是基于结构经过小量修改后其固有振型不发生明显改变的假设(这要求结构的相邻固有振频互相分离)，采用原结构的特征向量，通过瑞雷商估计新结构的特征值，即

假定Δωi／ω0i是小量，上式可简化变换为

通过此式可基于原结构的固有振型简便地分析结构固有振频对单个集中质量或刚度修改的灵敏度，在这方面已得到一些重要结果。

王(B．P．Wang)1986年进一步对此方法做了一些深入的探讨。灵敏度方法则是基于新结构的特征值和特征向量的泰勒(Taylor)级数展开式，利用特征参数(模态)灵敏度分析结果及原结构特征值和特征向量，估计新结构的模态参数。以特征值为例，近似到二阶项，有

其中v为设计变量(结构参数)，v=v₀+Δv。这种方法尤其适用于基于模态参数梯度的结构最优化设计过程。

至于特征参数导数的计算方法，请参阅“模态灵敏度分析”词条。

摄动方法(也称小参数法)是结构动力学修改重分析的重要理论工具和计算技术，对它的研究已相当深入。它与上述灵敏度方法在一定意义上是等价的，即也以计算由结构修改引起的特征值和特征向量改变量来代替对新结构振动特征值问题的常规重分析。现引用小参数ε表达无阻尼结构参数修改(摄动)量ΔM和ΔK

ΔM=εM_p ΔK=εK_p (9)

当Mp和Kp分别按模与M₀和K₀同阶时，0＜｜ε｜《1。

在建立新结构特征参数的摄动计算方法时，必须根据原结构特征参数的不同性质区分相异特征植、重特征值和密集特征值等几种情形。只要参数矩阵M和K关于ε连续且可微，则对应于每个相异原特征值λ_0i的新特征对(λ_i，x_i)也连续且可微，并可展开为ε的收敛幂级数

将其代入方程(2)和xi的正规化条件式

(11)

按ε的幂次可分别得出第一阶、第二阶等一系列摄动方程，解之即得各阶摄动量(λ₁i．x_1i)、(λ_2i，x_2i)等。

至于其求解方法，则与模态灵敏度分析算法类似，也有模态展开方法、代数直接方法和代数叠代方法等(请参阅“模态灵敏度分析”词条)。为兼顾适当的估计精度和尽可能少的计算量，一般只确定到第二阶摄动量即可。在原特征值λ₀₁为重特征值情况下，新特征值λ_i虽然仍是连续的，但它(在ε=0处)不可微，而仅是方向可导的；相应的原特征向量x_0i不唯一且是极端病态敏感的，因而新特征值向量x_i(在ε=0处)不连续。所以，相异特征值情形的摄动算式不适用于重特征值情形。然而，由于矩阵M₀、K₀和ΔM、ΔK的实对称性和M₀的正定性，无阻尼结构振动特征值均不亏损(即重特征值的几何重数必等于其代数重数)，而且属于一个重特征值的特征向量组成一稳定的(对参数摄动不是病态敏感的)不变子空间，因此可通过对该不变特征子空间的摄动计算来代替对单个特征向量的直接计算。这正是重特征值摄动分析的基本方法。

瑞雷(J．W．S．Rayleigh)是研究结构动力学修改重分析问题的先驱者，在其名着《声学理论》(1894年)中，他应用摄动分析方法对无阻尼和有阻尼结构振动特征值和特征向量重分析问题均做了研究，这是摄动理论的奠基性工作。

薛定谔(E．Schrodinger)1926年在研究量子力学的一种埃尔米特(Hermite)矩阵特征值问题的近似求解方法时，较系统地发展了这种摄动理论，他首次提出了重特征值情形的摄动重分析技术。

因此，特征值问题的摄动重分析方法也被称为瑞雷－薛定谔方法。琼斯(R．P．N．Jones，1960)、威尔金森(J．H．Wilkinson，1965)、威尔考克斯(C．H．Wilcox，1966)和赫什范尔德(J．O．Hirschfelder，1969)等进一步探讨和推广了瑞雷－薛定谔摄动法。

由于在大型复杂结构(尤其对称结构)振动分析和动态优化设计中往往出现重特征值问题，许多学者也对重特征值及其特征向量的摄动(灵敏度)分析方法进行过研究(请参阅“模态灵敏度分析”词条)。比重特征值更为常见的是密集特征值组(其中也可能包括重特征值)，与其相应的特征向量往往也是病态敏感的，其摄动性态与重特征值情形相似。

胡海昌对此做了深入研究(1983，1987，1991)，提出了相应的解法。对于高度集聚的密集特征值组，可直接采用重特征值摄动重分析方法。

在一般情况下，则可采用罗姆斯坦德(K．M．Romstad)等(1973)和胡海昌(1983，1987)等提出的模态缩减方法，即将新结构的特征值问题(2)投影到原结构的密集特征值组的不变特征子空间中，得到一缩减了的易于求解的低阶特征值问题。当然，模态缩减方法的用途不仅限于此，它是一种获得广泛应用的基于模态截断原理的近似分析技术。

基于结构小修改的模态重分析方法的精度特性一般不能满足结构修改量较大的工程实际问题的要求，但为了充分有效地利用这些简便、高效的快速重分析技术，可采用分步(增量)摄动策略。王龙生等(1983)、布鲁克斯(P．C．Brooks)和夏普(R．S．Sharp，1987)、吕振华等(1990，1991)先后对此方法进行过研究；后者还将其与一类摄动叠代方法相结合，提出了一种高精度分步摄动算法，并应用于结构固有振动特性的参数历程分析。

模态摄动分析方法在应用中的另一项发展是，基于结构的无阻尼实模态或比例阻尼复模态参数，通过对结构的阻尼参数(矩阵)的摄动，简捷地求得结构的实际阻尼复模态参数，从而可避免直接求解复模态二次广义特征值问题的困难。这种摄动解法最早在瑞雷的书中提出，米罗维奇(L．Meirovitch)推广应用于阻尼陀螺系统复模态特征值问题的摄动求解(1979，1980，1985)，查恩(K．R．Chung)和李(C．W．Lee，1986)、郑兆昌(1985，1990)和吕振华等(1988，1990，1991)对其做了进一步的研究和发展。

对于存在阻尼、回转效应以及循环力的实际结构／机械系统，其振动特征值问题为二次广义特征值问题，但可化作阶数增大一倍的线性广义特征值问题。对于结构修改问题，则有与式(1)～(3)相对应的形式

A₀x_0i=λ_0iB₀x₀i y_0i^IA₀=λ_0jy_0j^TB₀ (12)

A_xi=λ_iBx_i (13)

A=A₀+ΔA B=B₀+ΔB (14)

其中参数矩阵A₀、B₀(亦即A、B)一般为非对称实矩阵，B₀(亦即B)非奇异，特征值和左、右特征向量y_0i和x_0i(亦即λ_i、y_i和x_i)一般均是复的。

由于一般矩阵复模态特征值问题的重特征值(特征向量系)可能是亏损的(即其几何重数小于代数重数)，而且具有亏损特征值的矩阵还可能是减次的(即其同一重特征值出现在其约当(Jordan)标准形矩阵的一个以上不全为一阶的约当块中)，所以在进行复模态特征值问题的摄动重分析时，必须根据原问题(12)的特征值的不同性质而区分以下6种情形：(1)非亏损矩阵(既无亏损特征值的矩阵对A₀、B₀)的相异特征值；(2)亏损矩阵的相异特征值；(3)非亏损矩阵的重特征值；(4)非减次(亏损)矩阵的非亏损重特征值；(5)非减次(亏损)矩阵的亏损重特征值；(6)减次矩阵的亏损重特征值。第一种情形的摄动分析方法与实模态相异特征值情形相似，只是需用到左、右特征向量系的双正交关系式。

但其余几种情形都不是实模态摄动分析方法的简单推广，而要涉及到计算亏损特征值的主向量(约当链)和用普伊西沃克斯(Puiseux)级数(即ε的分数次幂级数)代替普通幂级数展开式等新的重要问题。勒温(A．Y．T．Leung)1990年对这些情形(尤其亏损矩阵情形)下的摄动重分析方法进行了较全面的阐述，但早在兰恩卡斯特尔(P．Lancaster，1966)、肯托(T．Kato，1966)和戴夫(A．S．Deif，1982)等的着作中就已对亏损矩阵特征值摄动问题先后进行过不同程度的研究，并得出了大多数情形下的基本结果；而赖里希(F．Rellich)的早期研究结果(1937～1953、1976)则是后来的有关研究工作的基础。

至于非亏损矩阵的相异特征值摄动重分析问题，许多文献都对其进行过研究并用于分析工程振动问题，其中尤以米罗维奇等(1979、1980、1985)的结果最为重要。刘满等推导过非亏损实(对称)矩阵对(代表粘性阻尼振动系统)特征值问题的重特征值摄动算式(1986)。

另一类完全不同的结构动力学修改重分析方法是基于局部非小量修改情形而提出的。杨(D．Young，1948)、李(X．F．Z．Lee)和赛贝尔(E．Saibel)(1952)、达斯(Y．C．Das)和纳弗拉特那(D．R．Navaratna，1963)较早探索过这条途径，1968年威森伯格(J．T．Weissenburger)相继提出的“特征值修改方法”奠定了这类重分析方法的基础。他把对结构参数例如刚度的局部修改表达成：

ΔK=Δkww^T (15)

其中Δk为刚度修改量，w为表示修改位置的向量。再令u=X₀^Tw，代入方程(4)(设ΔM=0)，得 (16)

通过考虑该矩阵方程的各行，可用原结构特征值λ_0，直接表达出新结构(在模态坐标系中)的特征向量z_i的各个分量，并可导出新结构的如下特征方程

应用牛顿-拉夫逊(Newton-Raphson)算法可解得诸λ_i。显然，这是一种精确重分析方法，但方程(17)比方程(16)亦即(4)易于求解。波姆扎尔(R．Pomazal)和斯尼德(V．W．Snyder)1971年把此方法推广到了阻尼振动系统，并考虑了非对称矩阵、重特征值和部分模态展开等情形。

霍尔奎斯特(J．Hallquist)和斯尼德等在随后几年间又对这类方法及其应用做了广泛的研究。朱光汉和郭平1988年基于结构阻尼复模态特征值修改方法分析了结构局部修改对模态参数的最大可能影响程度、王小刚等1990年则把结构局部修改重分析方法推广到了粘弹性阻尼振动系统。

结构动力学修改重分析的上述各种方法可应用于一系列振动工程问题，其中最主要的是结构动力学修改重设计以及结构动态优化设计问题。此外还可根据模态分析和动态试验结果，利用这些分析方法进行结构故障诊断。

结构振动特征值问题的重分析方法也可应用于流－固耦合振动(颤振)特征值问题和结构稳定性(屈曲)特征值问题等。吕振华等还将矩阵特征值问题的摄动重分析方法引入到矩阵奇异值分解问题的摄动重分析(1988，1990，1991)，这是一个值得进一步研究的方面。

。【参考文献】：

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2 Romstad K M Hutchinson J R, Runge K H. Int. J Numer Methods Eng,1973,5:337～349

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5 Wilkinson J H．代数特征值问题．石钟慈，邓健新译．北京：科学出版社，1987：64～113

6 胡海昌．多自由度结构固有振动理论．北京：科学出版社，1987：13～38

7 Leung A Y T．Commun Appl Numer Methods，1990，6：401～409

(吉林工业大学吕振华教授撰)