齿轮应力分析

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第148页（3882字）

指分析和求解轮齿和轮体各点应力和应力分布的方法。

齿轮应力分析，主要用于确定与齿轮失效有关的危险点的应力集中部位的峰值应力。齿轮应力的大小及其分布不仅与其承受载荷和温度有关，也与其形状、尺寸和材料性质等有关。齿轮应力包括齿轮弯曲应力、齿轮齿面接触应力。

齿轮应力分析涉及面广，包括圆柱齿轮、圆锥齿轮、圆弧齿轮、蜗杆传动、行星齿轮传动等的应力分析。

齿轮应力分析方法主要有计算法和实验法，而在工程应用当中往往采用计算和实验相结合的方法，来相互补充和验证，保证齿轮应力分析的可靠性和有效性。

1892年，W．Lewis发表了建立在抛物线等强度梁基础上的齿轮弯曲应力计算公式，开创了齿轮弯曲应力计算方法的基础。

该理论是将抛物线在齿形内切位置的平面作为危险截面，故称为平截面法，以后围绕这种方法各国学者进行了深入研究。1947年，A．B．Bepxовский由轮齿实际断裂情况提出齿根应力计算的折截面法，即危险截面看成是折截面。1961年，会田俊夫首先将保角映射法用于求解齿轮的弯曲应力，用平面弹性力学方法求得弯曲应力的解析解。1969年，G．C．Mudd首先用有限元法分析了表面淬火渐开线齿轮的弯曲应力，此后有限元法、边界元法精确求解齿轮弯曲应力不断发展，由二维问题发展到三维问题，也成为今后精确求轮齿弯曲应力的有力手段。

1926年，S．Timoshenko应用光弹实验法测量齿轮弯曲应力。以后各国学者相继发展了电阻应变法、全息干涉法、散斑干涉法，使弯曲应力的测量和分析更加精确。

1882年，H．R．Hertz导出了两弹性圆柱体接触表面最大压应力公式。E．Videkey在1908年第1次应用Hertz理论进行齿面应力的计算，奠定了接触应力分析的理论基础，该理论至今仍被采用。为了更精确地计算齿面接触应力，1971年T．F．Conry和A．Seireg以柔度矩阵法提出了接触载荷分布问题的数学规划法。

该法使有限元法、边界元法求解齿轮的接触间问题成为可能。

进入80年代，许多学者用有限元法、边界元法对齿轮的接触应力进行了研究，但仍不系统。接触应力的实验测量一直比较困难，对齿轮接触实验主要是针对材料疲劳特性及许用应力而进行的。

1931年，Kutzback首次进行了接触疲劳实验，至今已有许多学者就影响接触强度的各个因素进行了大量实验，得出许多有价值的结论。

自W．Lewis提出平截面法计算齿轮弯曲应力理论以后，许多学者就危险截面位置的确定提出各自的方法。

1928年，E．Buckingham研究了齿轮弯曲应力与速度的关系，并于1949年提出力点切线法确定危险截面的位置的弯曲应力计算公式。

1926年，H．Hofer根据光弹实验的结果，提出用30°切线法确定危险截面位置，该法现在被ISO及大多数国家齿轮弯曲强度计算方法所采用。1940年，G．Niemann提出中点法确定危险截面位置，由于实用不方便，1961年提出的弯曲应力计算公式中，改用30°切线法。1955年，B．п．Ahдoнtсknй在A．B．BepxoBcknň提出的折截面法基础上推导了该方法的计算公式，使折截面法得以实用。

平截面法和折截面法都把轮齿看作悬臂梁，用材料力学方法计算其应力，轮齿短而宽，且齿上载荷集中，材料力学方法不适合，为此T．J．Jaramillo于1950年提出了悬臂梁矩像法。1960年，Z．J．Weblauer引入应力沿齿宽分布影响，引申了矩像法；同时B．A．Shotter于1970年提出了平面应力各向同性楔形理论，旨在克服悬臂梁理论的不足。由于悬臂梁理论和楔形理论不能表达齿形、齿根过渡曲线，因此应力计算比较粗糙，精度低，但因方法简单，目前各国工程上还是广泛采用悬臂梁用平截面法计算，为完善这些方法，各国学者进行了大量实验，引入一些系数加以修正。以上方法只能计算齿轮最大弯曲应力值，不能计算齿面及齿轮内应力分布，70年代以后，为提高齿轮弯曲应力计算精度，保角映射法、有限元法、边界元法得到迅速应用。

会田俊夫提出的保角映射法是运用平面弹性理论的保角映射方法计算齿轮应力的精确解，因其映射函数求解困难未能实用。1980年寺内喜男改进映射函数，使映精度得到提高，但求解映射函数仍为试凑法，影响计算精度。

1987年程乃士实现了计算机求解轮齿的保角映射函数，精确地表达齿形和齿根过渡曲线，得到弯曲应力的精确解，使这一方法在工程中实用成为可能，不仅快速、方便，且精度高。

随着数值计算方法的发展，继G．C．Mudd之后，G．Chabert和L．Wilcox先后于1970年用有限元法分析了二维模型的弯曲应力分布，随后Harrison、户部、H．Winter、R．Mathis都进行了这方面研究。

V．Simon于1980年用三维有限元模型，得出了精确的计算轮齿偏移量和应力的公式。有限元法可以精确地表达齿形、齿根过渡曲线及齿轮体结构，成为精确分析齿轮应力状态的重要方法之一。边界元法是继有限元之后发展起来的新的数值分析方法，不仅精度高，且仅沿物体边界进行单元划分，节省计算机容量，提高了计算效率。1982年，M．Alemanni首先用边界元法计算了直齿轮齿根应力，且与有限元结果作比较。

1983年，V．Rubenchik又将其边界元数值解答与传统方法进行比较，此后很多学者用边界元法求解各种齿轮弯曲应力，结论是在齿轮面积与体积比小时，边界元法省时、高效、且可得到精确解。

继S．Timoshenko的光弹实验之后，T．J．Dolan于1940年用光弹实验法提出应力集中系统的概念。

R．B．Heywood于1948年由光弹实验法提出等强度梯形的齿根应力计算的经验公式。同时电阻应变法开始用于定量测定轮齿表面应力值、激光散斑法用于轮齿弯曲应变的测量。这样由实验方法建立了许多轮齿弯曲应力的经验公式，使各方法趋于完善，也验证了理论计算结论。

自Hertz公式问世以来，很多学者进行了齿面接触问题研究。

1928年，K．Wissman给出了计算单齿啮合点齿廓压应力的计算公式。1953年，J．O．Smith发表了法向力与切向力同时作用下，三维接触应力的计算公式。

这些公式简单、粗糙，但使用方便，工程实际中普遍采用。

近年来，为解决齿面载荷分布和齿间载荷分配，以便精确求解齿面接触应力。1973年，T．F．Convy用所提出的柔度矩阵法计算了齿宽方向载荷分布和齿廓修形量，提供了解决齿面接触问题的理想途径，为有限元法、边界元法分析齿面接触应力奠定基础。B．Fredriksson、N．Kamoto、罔本纪明等采用有限元法，J．Andersson等采用边界元法于20世纪70年代完成了精确分析齿面接触应力，但这些方法还需深入研究。

继Kutzback之后，M．Ulrich第一个实验研究了点蚀形成过程，于1934年证实了齿廓表面上出现的裂纹。N．Käser1977年通过实验表明，齿面点蚀的形成与相对齿廓无关，而是本身存在前期破坏，使常规接触应力理论进一步完善。

此外许多学者进行了大量试验，如：齿的微量变形和齿面失效状况实验、齿面弹性流体动压润滑参数定量试验等，但由于接触点的运动和局部微观性，准确测量齿面接触应力，尚无可靠手段。

近代已开始应用数学、力学、材料学、几何学和现代设计理论的最新成果以及现代的实验技术和分析方法来研究齿轮应力分析技术。

当前研究的热点问题：(1)现行各种齿轮强度计算标准，需大量采用有限元等方法对各种齿轮参数影响分析结果加以修正，使其准确可靠。(2)有限元法、边界元法、保角映射法等方法计算复杂，寻求使其在实际当中方便、快速应用的手段，势在必行，并探索能完全模拟齿轮运行状态的应力计算方法。(3)探讨测量齿面接触应力的可靠方法。(4)计算机辅助试验技术在齿轮试验中应用的研究。

。【参考文献】：

1 Videkey E. Beitrāge zur Berechnung der Za hnfader Zeitshrift ōsterreichischen Ingenieur und Architekten Vereins,1908,3

2 Timaoshenko S, Band R V. The strength of Gear Teeth Me chanical Engineering. 1926,1105

3 会田俊夫，寺内喜男．日本机械学会论文集．昭(36．6)．27(187)

4 Conry T F，Seireg A．Tran．of ASME，1971，6∶387～392

5 Wilcox L．Tran．of ASME，1973，11

(东北大学程乃士教授、孙大乐博士撰)