裂纹体弹性波散射

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第157页（8398字）

早在19世纪末，数学上非常严格的经典弹性理论已基本趋于完善，并且均匀各向同性介质中弹性波传播的研究也取得了重大的成就，例如1887年Rayleigh表面波的发现以及1876年Poehhammer对无限长圆柱一般振动的精确理论分析，至今在弹性波的研究中仍起着十分重要的作用。

但直到二次大战期间，出于了解高速冲击载荷作用下结构性能的需要，弹性动力学才重新得到青睐。到20世纪60～70年代，由于生产和军事上研究地震现象、地下核爆炸、高速撞击的冲击载荷作用下材料和结构的响应等问题的需要；由于人们在开发利用各种应用技术(例如利用弹性波的折射和反射来研究地球的内部结构，查明地层分布和勘探石油资源等，利用超声波进行材料的无损检测和人体检测，利用场发射监视裂纹的扩展，在雷达和声呐技术中利用电磁波和声波的反射准确地确定目标的位置和状态，利用高速撞击产生的应力波研究材料的动态性能，等等)过程中进一步了解弹性波传播特性的需要，使弹性波理论又一次得到了迅速发展，成为固体声学、电磁学、地球物理学、地震工程、无损检测、爆炸力学、动态断裂力学和材料动态性能研究的重要基础。

弹性波的散射理论是弹性波研究领域中的一个重要组成部分。从70年代开始，随着地震探矿技术、定量无损检测技术、雷达和声呐技术的发展以及动态断裂和应力集中等问题的研究，它越来越受到人们关注。

尽管从工程应用的观点来看，大量的弹性波散射问题是弹性动力学的反问题，即由测得的弹性波的散射数据进行反推，以确定诸如发射源、介质的密度和弹性常数、散射体的大小、位置和方向等。但是为了能够准确地解决工程中的弹性动力学反问题，首先必须对弹性波散射的正问题进行系统和深入的研究，以便得到其固有的规律和特性，进而对解决弹性动力学反问题提供指导。

这就是促使人们在弹性波散射理论方面进行大量研究工作的原因。实际上关于弹性波散射问题研究的历史，一直可以追溯到1863年Clebsch对球状缺陷的弹性波(矢量波)散射的研究，其后Rayleigh总结了他对光的散射以及球体和圆柱体对弹性波(数量波)散射的研究工作，而Lamb对流体中的声波散射问题进行了较为详尽的研究。

在Rayleigh的工作以后，虽然声、光、电磁波的散射研究成为物理学中一个相当活跃的领域，但关于弹性波的散射问题，除了部分地震学者稍感兴趣以外，却很少有人问津。直到50年代，人们才重新研究弹性波的散射问题，首先是Nishimura等研究了动载荷作用下弹性体内球形孔洞周围的应力集中问题，紧接着Ying等研究了多晶固体内平面纵波的散射问题。

后来的许多研究工作主要集中在低频稳态波的散射和应力集中问题上，以及集中在瞬态入射脉冲的响应等问题上，这一时期的工作Pao等有较详尽的总结。而从60年代开始，随着断裂力学的发展，研究在弹性波作用下裂纹尖端的力学行为成了许多力学工作者关心的一个热点，并随着定量无损检测技术的发展，裂纹体弹性波散射的远场特性研究日益受到人们的关注，并出现了大量关于这种研究的文献，它已成为当今应用力学界一个较为活跃的前沿课题。

裂纹体弹性波散射问题的数学处理较为复杂，许多学者各自使用不同的方法对各种问题进行相应的研究，而最常用的方法有积分方程法和射线法。积分方程法是从弹性动力互等原理出发或直接从积分变换入手，将问题转换为对积分方程的求解而得到问题的解答。积分方程一般可以分成两大类，一类是Fredholm积分方程；另一类是具有Cauchy型积分核的奇异积分方程。射线法是把波动方程中的势函数取成级数形式，该级数具有末知的振幅和相位函数，在高频下得到相位函数满足程函方程，而振幅函数满足输运方程。

该方法在入射波频率较高时能得到较为理想的结果，Achenbach等对该方法进行了较为详细的阐述。另外还有Green函数法，数值分析法等。

由于在一般情况下得到的散射场往往十分复杂，分析应用都十分困难。而对裂纹的弹性波散射问题通常最关心的是在裂尖附近散射场的力学行为和在远离裂纹处散射场的渐近特性。因此问题通常表述成以下两大类：一类是通过极限分析反映出裂纹尖端的应力强度因子或裂纹张开位移随入射波频率的变化特性，另一类是通过渐近分析反映出散射场在远离裂纹时其幅值随入射波频率变化的幅频特性。

均匀介质中单一裂纹弹性波散射的二维问题研究。事实上Fridman的工作已经开始关于裂纹的弹性波散射问题的研究。De-Hoop应用积分变换研究了半无限长裂纹对平面波的散射问题，并给出了在时域的全部精确解。

但是在后来相当长的时间内，这方面的研究工作进行得很少。

60年代末，G．C．Sih从研究裂纹尖端的力学行为出发，首先对裂纹的弹性波散身问题进行了大量富有成效的研究工作，得到了许多关于裂纹尖端应力强度因子在时域或频域内的结果。这些研究工作包括：有限宽裂纹对弹性波散射的研究，硬币形裂纹对垂直入射的膨胀波和扭转波散射的研究，弹性板内穿透裂纹对弯曲波散射的研究，运动裂纹对剪切波散射的研究，Griffith裂纹对突加载响应的研究以及硬币形裂纹对突加扭矩响应的研究等。

由于单一裂纹的弹性波散射是一个最基本的问题，因此它首先受到许多力学工作者的关注。在这方面Aehenbach等用射线法和积分方程等方法，对半空间中各种裂纹在P波、SV波、SH波、Rayleigh波、Love波等入射时的散射问题分别进行了研究。他们的工作不只局限于研究裂纹尖端的动态应力强度因子，同时还研究散射位移场在远离裂纹时的所谓远场性态。他们还利用这种力学模型研究由于断层面上滑动而激发的地面运动的近场和远场特性。Robertson运用积分变换方法研究了无限介质中硬币形裂纹对P波的散射问题，并给出了在裂纹中心位置裂纹面张开位移的幅值随入射波频率的变化曲线。Mal研究了Griffigh裂纹对垂直入射的纵波及反平面剪切波的散射问题以及硬币形裂纹对垂直入射的纵波及扭转波的散射问题。他主要分析了裂纹尖端应力强度因子及裂纹面的张开位移随入射波频率的变化规律。Ryan和Mall研究了半空间中次表面裂纹对反平面剪切波的散射，主要分析了裂纹离自由面的距离与裂纹长度的比值对裂纹尖端应力强度因子及裂纹面张开位移的影响。van der Hijden和Neerhoff利用积分方程法研究了无限介质中有限宽裂纹对P波和SV波的散射，得到了能量散射及应力强度因子随入射波频率的变化特征。

还有许多学者采用各种不同的方法从各个不同的侧面对这一类问题进行了研究。

到目前为止，对均匀介质中单一裂纹弹性波散射的二维问题可以说已基本解决。虽然其力学模型与真实裂纹的弹性波散射问题有较大的差别，但是这些结果却有助于认识在裂纹体中弹性波的传播规律，促进弹性动力学的发展以及弹性波散射反问题的研究。

均匀介质中单一裂纹弹性波散射的二维问题研究。存在于介质中的裂纹形状往往是不规则的，数学处理极其复杂，因此，研究时首先以硬币形裂纹模型代替真实裂纹，使所得结果更具有实际意义。

对于硬币形裂纹的研究，Sih，Robertson和Mal等的工作进行得较早，但他们只局限于研究入射波垂直于裂纹面的情形，因而可将问题转化为轴对称的二维问题。

Martin首先研究了无限介质中硬币形裂纹弹性波散射的一般情形，他引入一个称为弹性双层的概念(类似于弹性动力学中的简谐双层势)，并证明了散射位移场的解可由满足一定条件的弹性双层来表示。然后他定义了一个关于裂纹面张开位移的Green函数，并给出了关于求解该函数的第2类Fredholm积分方程。

但是其Fredholm解极为复杂，后来Martin和Wickham对该积分方程进行了数值求解，并对P波，SV波的散射位移场在远离裂纹时的幅频特性给出了数值计算结果。Roy和Adler分别对椭圆形裂纹的弹性波散射问题进行了理论分析和实验研究。由于三维问题在数学处理上存在困难，以致至今所得到的解析结果仍较少。

近年来随着数值分析方法的发展，边界积分方程已成为处理裂纹弹性波散射三维问题的一个重要工具。

Visscher首先采用边界积分方程法，研究了无限介质中任意形状平面裂纹对弹性波的散射问题，结果发现当用低频波入射时，只有用非常精确的实验才有可能区分硬币形裂纹和一般形状的裂纹。这是因为只有当入射波的波长与裂纹尺寸处于同一量级时，才能从与散射场干涉的峰谷中给出关于裂纹形状的信息。Badreck和Achenbach采用同样的方法对平面裂纹的散射问题进行三维分析，研究了硬币形裂纹和椭圆形裂纹对中频和高频弹性波的散射问题。结果发现，当入射波的频率足够高时，椭圆形裂纹与硬币形裂纹的散射场具有明显的差异。

裂纹弹性波散射的三维分析是一个较为困难的问题，现有的结果很多，许多问题还有待作进一步的研究。

表面裂纹弹性波散射问题的研究。表面裂纹较常见却又较难处理，对结构破坏来说，它们的危险性通常都较大，因而研究表面裂纹对弹性波的散射问题受到力学工作者的普遍重视。

Datta首次给出了在低频下，半空间中表面裂纹对反平面剪切波散射的近似解。后来Datta，Shah和Fortunko采用杂交有限元法进一步对该问题进行了深入的研究。Mendelsohn，Achenbach和Keer分析了垂直自由边界的表面裂纹对表面波的散射问题，他们利用Chebyshev多项式展开得到了积分方程的级数解。另外，Achenbach、Gautesen和Meldelsohn采用高频射线法对同一问题进行了研究。Datta和Shah研究了与自由表面成45倾角的斜裂纹及Y形的分叉裂纹对超声波的散射，而Shah等采用杂交有限元技术和解析相结合的方法研究了它们对弹性波的散射问题，并给出了裂纹附近散射波的表面位移场及裂纹尖端应力强度因子的计算结果。

Angel等就垂直于自由边界的表面裂纹对其斜入射的Rayleigh表面波的散射问题分别进行了二维和三维分析。他们巧妙地将问题分解为对裂纹面物理对称和反对称两种问题，然后用数值方法求解关于裂纹面上位错密度函数的奇异积分方程。最后在频域内给出了裂纹尖端应力强度因子、反射和透射系数以及辐射到介质内部的时间平均能流的数值结果，并发现当入射角超过某一临界值时，辐射到介质内部的能量为零。

而Zhang和Achenbach用边界积分方程法详细地研究了与自由边界成任意α角表面裂纹对Rayleigh波的散射问题，并用边界元进行了数值求解。

由结果得知，裂纹面与自由边界的夹角对散射场有十分明显的影响。Angel利用积分变换技术研究了表面裂纹对Love波的散射问题，结果表明，其散射场的远场形式只是有限个模态的Love波的叠加。

他给出了前三阶模态的反射和透射系数与入射波频率的关系曲线。另外还有许多学者对表面裂纹的散射问题进行了大量的实验研究。

总的来说，目前对表面裂纹的弹性波散射问题已进行了大量的研究工作。

然而研究工作基本上局限于二维的平面应变问题，至于如半圆形或半椭圆形表面裂纹的三维分析，还末见到研究结果。

在弹性波导情况下裂纹的弹性波散射问题的研究。在工程实际中，有的结构尺寸在某一方向上的尺寸比其它方向上的尺寸小得多，当弹性波在这类结构的介质中传播时，在边界上来回反射在有限方向上，形成驻波形式向前传播的所谓弹性波导。

在弹性波导情况下，边界对散射波的反射使问题变得十分复杂。Srivastava等首先采用积分变换方法，研究了无限长圆柱体中硬币形裂纹对简谐P波的散射问题，并主要分析了裂纹尖端动态应力强度因子，随入射波频率的变化规律。而Dhaliwal等采用相似的方法，研究了无限长圆柱体内环形裂纹对扭转波的散射问题。

Chen和Itou分别研究了有限宽弹性带内中心裂纹对反平面剪切及平面压缩冲击载荷的动态响应；而Srivastava研究了有限宽带内中心裂纹对SH波的散射问题，并发现只有当入射波频率小于某一临界值时，散射波才能在带内传播，而这一临界值又与带宽有关。

Wassef应用Green函数求解矩形条中裂纹受分布简谐力作用的问题，进一步考虑了一般形式体积力的影响，分别对裂纹面上受均布稳态载荷作用及受Dirac′s delta函数分布的简谐波作用的情况进行了研究，采用Green函数及Fourier展开的方得到了问题的解答。Boriskovsky应用自由振动模态分析的方法，研究了带裂纹的有限宽板受简谐波作用问题，他通过加权求和得到应力强度因子，并进行了数值计算。

Mikata等运用Hankel变换和Laplace变换，在Laplace域内求解了厚壁圆筒内环形裂纹对扭转冲击载荷的动态响应。他经过数值反演，给出了裂纹尖端动态应力强度因子，随时间的变化曲线。

ZhangZimao等分析了简谐纵波作用下厚壁圆筒内环形裂纹尖端应力强度因子，随频率的变化规律。

以上关于弹性波导情况下，裂纹的弹性波散射问题的研究，大都只研究了裂纹尖端附近散射波场的一些特性，并且以最简单的反平面剪切及扭转问题居多，而对于远场特性的研究十分不够。

因此有许多问题还有待于进一步研究。

界面裂纹弹性波散射问题的研究。

非均匀介质在工程实际中是十分常见，如地壳、层合板、复合材料层板等。而在不同介质之间，由于各种原因引起的缺陷如夹杂、裂纹等成为结构破坏的主要原因。因此，对不同介质界面裂纹的研究，首先引起了断裂力学工作者的注意，而随着复合材料在工程中的大量应用，关于界面裂纹的弹性波散射问题也越来越受到人们的重视。从70年代末，Srivastava等研究两个半空间的界面裂纹受简谐载荷作用的简单问题开始，至今在界面裂纹的弹性波散射问题方面已取得了不少很有意义的研究结果。

首先是Neerhlff研究了加层半空间界面裂纹对Love波的散射问题，并分析了散射波的远场特性。Yang和Bogy对加层半空间界面裂纹的弹性波散射问题进行了较为详细的分析。

他们首先利用Green定理得到关于散射位移场势函数的奇异积分方程，并进行了数值求解，最后在频域内给出了裂纹尖端Ⅰ型、Ⅱ型应力强度因子的计算结果；同时讨论了裂纹长度与加层厚度比对裂纹尖端应力奇异性的影响。Gracewski和Bogy进一步研究了浸没在水下的加层半空间界面裂纹对弹性波的散射问题，这一模型对研究水下结构的动力学响应具有一定的参考价值。

Kuo研究了两个正交各向异性半空间界面裂纹对冲击载荷的响应，给出了裂纹尖端瞬态应力强度因子随时间的变化曲线。Kundu的工作主要研究了双层板中界面裂纹对反平面冲击载荷动态响应的近场动力学特性。在以上的工作中，当考虑界面裂纹对P波，SV波的散射场时，在裂纹尖端附近存在着振荡奇异性问题。王晓东采用在裂纹尖端存在局部接角区的力学模型，研究了多层介质中界面裂纹的弹性波散射问题。

这种方法消除了散射场在裂纹尖端的振荡奇异性，得到了应力强度因子及裂纹面张开位移的计算公式，并给出了数值结果。

对于界面裂纹弹性波散射的远场特性，Bostrom研究了两个半空间界面裂纹对SH波散射的远场特性。他用裂纹面的张开位移作为末知函数得到积分方程，再利用Chebyshev多项式得到级数解，并对散射波进行了远场分析。

另外，马兴瑞对层状介质中界面裂纹的P波、SV波散射问题进行了较为详细的研究。

他利用传递散射矩阵得到了任意多层介质中单一裂纹(包括平面应变的穿透裂纹及硬币形裂纹)的散射对偶积分方程，并对加层半空间界面裂纹的弹性波散射问题进行了较为深入的探讨。同时利用Jacobi多项式得到关于裂纹面张开位移密度函数的级数解，不仅分析了散射场在裂纹尖端附近的动力学特性，对其远场特性也进行了渐近分析，得到了许多有价值的结果。

多个裂纹的弹性波散射问题的研究。介质中存在的裂纹在实际问题中往往不一定是单个的，如在主裂纹附近出现的微裂纹，由加工工艺引起的周期性裂纹等。

而对于多个裂纹的弹性波散射问题，由于相互干扰使得散射波无论在近场还是远场的行为都有很大的变化，并在数学处理上也变得更为复杂。

然而由于实际问题的需要，近年来在这方面的研究工作亦有较大的进展。

对于多裂纹问题的处理，首先由．Jain和Kanwal对无限介质中共面双Griffith裂纹的弹性波散射问题进行了研究，但其结果只适用于低频时的情况。Itou研究了无限介质中共面双裂纹的动态应力集中问题，并研究了无限介质中共面双裂纹的SH波散射及双矩形裂纹冲击载荷的动态响应问题。

后来这方面的文献较少，但在近几年间又有了新的进展，首先是Gross和Zhang研究了无限介质中多个裂纹系对SH波的散射问题，并以双裂纹为例，给出了大量关于应力强度因子的数值结果。从数值结果可见，当两个裂纹间的距离减小时，散射场相互作用的增强使得裂纹尖端应力强度因子的峰值增大。

Zhang和Achenbach运用位移Green函数和边界积分方程的方法，研究了无限大介质中双裂纹的弹性波散射问题，分析讨论了散射波的远场特性，并用边界元法进行了数值计算，得到了一些有参考价值的结论。Huang和So采用位错模型对无限介质中任意位置的两个裂纹的P波、SV波散射问题进行了研究，并主要分析了裂纹间的距离对应力强度因子的影响。

Huang和So还采用同样的方法对多个裂纹的SH波散射问题进行了类似的分析研究。

而对多个界面裂纹的弹性波散射问题，目前所得的结果还不多，只有Kundu等人对最简单的SH波进行了研究。

章梓茂等研究了层状介质中任意多个非共面交界裂纹的弹性波散射问题，利用积分变换，给出了关于P(SV)波及SH波散射的对偶积分方程，并对双覆盖层半空间的两个非共面交界裂纹的SH波散射进行了较为详尽的分析，给出了散射场在近场和远场的特性曲线；另外章梓茂等对硬币形裂纹进行了类似的分析，并与Griffith裂纹进行了比较。Achenbach等对无穷介质中周期裂纹的弹性波散射问题进行了较为深入的研究，分析了入射波垂直于裂纹面时的情况；运用有限Fourier变换技术将周期性边值问题转化为带周期核的奇异积分方程，再用Chebyshev多项式展开得到级数解；还着重分析了在裂纹面上反射系数和透射系数的频率特性，同时发现当入射波频率一定时，散射波在远场的形式只能是有限个模态的叠加；后来进一步研究了斜入射时的散射问题，这时在裂纹面上的反射和透射波存在的波型转换使问题变得更加复杂。

他们发现，在含有双周期分布裂纹的介质中，对入射波而言存在着两种频带：一种称为通过带，当入射波频率在这一频带范围内时，入射波能够通过裂纹面而传播；另一种称为停止带，当入射波频率在该频带范围时，将无法通过裂纹面传播。邹振祝等研究了两个半空间周期界面裂纹对SH波的散射问题，结果发现，对于任何频率的入射波，散射波场在远离裂纹时，至少存在一个常幅值的SH波。

而随着入射波频率的提高，在远场将激发出多个高阶的散射波，其振型为余弦函数，并且高阶波的波速大于低阶波的波速，所以在远场的散射波具有弥散性。

总的来说，裂纹体弹性波散射问题的研究是当前许多力学工作者十分关心的课题。

随着弹性动力学反问题研究的深入及定量无损检测等应用技术的发展，对弹性波散射正问题的研究提出了更多的新要求，还有许多工作有待于进一步深入研究。

(北方交通大学章梓茂、陈英俊，哈尔滨工业大学马兴瑞、邹振祝撰)