概率度量空间

出处：按学科分类—自然科学总论 北京出版社《现代科技综述大辞典上》第100页（2768字）

简称PM空间，是用统计量描述两点间距离的一类新型空间，它以包含通常的度量空间为特例。

从某种意义上讲，该空间更符合客观实际。PM－空间理论及应用的研究不仅对概率论和泛函分析的发展有重要的意义，而且对随机算子理论和各类随机方程的研究也将产生重要的影响。

自1942年门格(K．Menger)提出PM－空间的概念以来，PM－空间理论的研究已取得了许多重要的进展。

1960年什伟泽(B．Schweizer)和斯克拉(A．Sklar)研究了PM－空间的拓扑结构，证明了具连续三角范数T的门格PM－空间(E，F，T)是由邻域系导出的拓扑的豪斯道夫(F．Hausdorff)空间，并且给出按该拓扑收敛的等价性刻划。1962年塞士特讷夫(A．N．Serstnev)引入并研究了一类特殊的PM－空间－概率线性赋范空间(简称PN空间)，这类空间包含线性赋范空间为特例。1969年塞伍德(H．Sherwood)引入并研究了另一类特殊的PM－空间，即E空间，为随机算子理论的研究提供了新的框架。与此同时，美国、南斯拉夫、罗马尼亚等国的一大批数学家进一步开展了对PM－空间理论的研究。1983年什伟泽和斯克拉在他们的专着中系统地总结了多年来关于PM－空间理论所取得的丰硕成果。

从1980年以来，在游兆永的倡导下，中国数学工作者在PM－空间理论及PM－空间中非线性分析的理论和应用方面取得了一批为人称道的结果，对PM－空间理论的发展作出了贡献。

PM－空间具有独特的“度量”性质。为了研究这一性质，1989年游兆永、朱林户引进了PM－空间与伪度量族生成空间等距同构的概念，并给出等距同构的充要条件；1990年方锦暄给出了门格PM－空间等距同构于某伪度量族生成空间的充要条件；另外，他还引入T－伪度量族生成空间和L伪度量族生成空间的概念并给出门格PM－空间表现定理之一；1985年张石生得到了PM－空间、门格PM－空间及PN－空间可度量化的条件以及与之相关的度量函数的具体表达形式，作为其应用还得到了门格PM－空间中有关紧性、可分性和分离性的一些重要结果。

PM－空间中集合的概率有界性是非常重要的概念。

张石生和龚怀云在1988年给出判别PM－空间集合概率有界、概率一致有界、概率半有界和概率无界的充分必要条件，为PM－空间中的线性算子理论及PM－空间中单值和集值映象不动点理论的研究提供了有力的工具。

PN－空间中的线性泛函理论是PM－空间理论的重要研究方向。1987年米夏勒克(J．Michalek)给出了PN－空间中的线性泛函概率范数的定义及某些基本性质，证明线性泛函f关于概率范数有界的充分必要条件是f连续。另外，他还引入广义门格PN－空间的概念，证明了门格PN－空间的拓扑对偶可视为一特殊的广义门格PN－空间，给出了拓扑对偶空间的拓扑是线性拓扑的充分必要条件，还证明拓扑对偶空间的拓扑是可度量化的。

1984年卡列娃(O．Kaleva)等引入的模糊度量空间包含门格PM－空间为特例，而这一类模糊度量空间又可嵌入一类广义距离空间。基于这一思想，于是在PM－空间中引入－种偏序，把门格PM－空间嵌入广义距离空间，并利用偏序的方法来研究PM－空间理论；1985年曾文智引入概率2距离空间的概念，并研究了这一空间的拓扑结构及其对不动点问题的应用；1989年张石生、黄南京等引入一种偏序，把门格概率2距离空间嵌入广义2距离空间，借助广义2距离空间的一些性质得到了门格概率2距离空间的一些相应结果。随着PM－空间理论的深入和发展，1990年林熙等引入并研究了随机内积空间，取得一些有意义的结果。

在1991年国际数学会编辑的《数学主题分类》中“概率度量空间”已被列条，这就标志“概率度量空间理论”已形成数学的独立分支。

由于它是刚独立的新的数学分支，急需人们去进一步研究和完善。例如下面所述的就是几个急待研究的问题：(1)概率内积空间准确、有效、简洁的定义，以及概率内积空间理论的研究。(2)概率度量空间的几何理论及拓扑性质的进一步研究。(3)概率度量空间上线性和非线性分析理论的研究。

。【参考文献】：

1 Schweizer B,et al. Probabilistic Metric Spaces,North -hol-land,1983,l～275

2 Kaleva O, et al. Fuzzy Sets and Systems, 1984,12:215～ 229

3 Shih - sen Chang, The metrization of probabilistic metric spaces with applications, Univ u Novom Sadu, Zb. Rad Prirod. -Mat Fak Ser Mat,1985,25(1):sl07～117

4 曾文智．数学研究与评论，1987，7(2)：241～245

5 Michalek J．Linear functionals in SLM-spaces，Comment．Math Univ Carolinae，1987，28(1)：111～126

6 张石生．应用数学和力学，1988，9(2)：117126；9(3)：193～204

7 游兆永，朱林户．中国科学，1989，A31(1)：19～24

8 Shih-sen Chang Nan-jing Huang，Math Japonica，1989，34(6)：885～900

9 方锦暄．科学通报，1990，35(22)：1701～1203

10 林熙，等．科学通报，1990，35(22)：1707～1709

(四川大学张石生教授、黄南京副教授撰)