一个总体均值假设检验

出处：按学科分类—哲学、宗教 上海教育出版社《心理学大辞典下卷》第1526页（1000字）

假设检验的一种。

一个总体均值的假设检验可分为以下四种情况。(1)方差已知情况下的双侧检验。设总体X服从正态分布N(μ，σ²)，其参数μ未知，σ²已知，待检验的统计假设是H₀：μ=μ₀；H₁：μ≠μ₀。μ₀是已知数。从总体X中随机抽取容量为n的样本X₁，X₂，…，X_n，并计算其平均数，检验统计量为Z=，由抽样分布理论知：在H₀成立的条件下，Z～N(0，1)。于是，由给定的显着性水平α，查标准正态分布表可得“双侧α分位点”Z_α／2与－Z_α／2，它们满足P｛Z≥Z_α／2｝=P｛Z≤－Z_α／2｝=α／2，从而得到接受域与否定域(如图)。由样本值计算出统计量Z的观测值为Z₀，推断的规则：当|Z₀|＜Z_α／2时，接受H₀(没有充分“理由”拒绝H₀)；当Z₀＞Z_α／2或者Z₀＜－Z_α／2时，拒绝H₀，接受H₁(这时，与μ₀的差异显着，故拒绝H₀)。(2)方差已知情况下的单侧检验。以左侧检验为例。若统计假设是H₀：μ≥μ₀；H₁：μ＜μ₀(μ₀已知)，使用的检验统计量依然是。

由给定的α，查标准正态分布的左侧α分位点－Z_α。它满足P｛Z＜－Z_α｝=α，推断的规则：若Z₀≥－Z_α，接受H₀；若Z₀＜－Z_α，拒绝H₀，接受H₁。

由(1)(2)可知，当方差σ²已知时，所做的是Z检验。(3)方差未知情况下的双侧检验。

若总体方差σ²未知，用σ²的无偏估计量S²=(X_i－x)²代替σ²，待检验的统计假设是H₀：μ=μ₀；H₁：μ≠μ₀，检验统计量为。在H₀成立时，t服从自由度为n1的t分布。

对于给定的显着性水平α，查t分布数值表得到双侧α分位点t_α／2，它满足P｛t＞t_α／2｝=P｛t＜－t_α／2｝=。若样本计算出t的观测值记为t₀，推断规则：若|t₀|≤t_α／2，接受H₀；若t₀＞t_α／2或t₀＜－t_α／2，拒绝H₀，接受H₁。(4)方差未知情况下的单侧检验。以左侧检验为例。

若统计假设是H₀：μ≥μ₀；H₁：μ＜μ₀，检验统计量依然是t=，只是临界点在分布的左侧。由给定的α，查t分布数值表，得到左尾临界点－t_α，它满足P｛t＜－t_α｝=α。若t的观测值记为t₀，于是推断规则是：若t₀≥－t_α，则接受H₀；若t₀＜－t_α，则否定H₀，接受H₁。由(3)(4)可知，当方差σ²未知时，采用的是t检验。