优化设计的基本步骤

出处：按学科分类—工业技术 南京大学出版社《工程师实用手册》第108页（1849字）

优化设计步骤可由图3－11表示。

1．建立数学模设型

应用优化设计方法，首先要把工程设计所需解决的问题转化为可通过求解的数学问题，即建立数学模型。通过数学模型来反映技术方案中设计变量与工作性能的关系。一般数学模型是由设计变量、约束条件和目标函数三个部分组成。设计变量因设计对象而异，对同一个设计对象若方案不同其变量数也不同。一般说来，设计变量愈多，设计的精度就越高，但计算过程也越复杂。在保证精确度的前提下设计变量越少越好。所谓约束条件，就是限制设计变量取值范围的限制条件，可用约束方程g_i(x)≥0和h_j(x)=0表示(其中i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，q)。举例说明。

图3－11 优化设计步骤

图3－12表示由两个钢管组成的平面桁架，在点F处铰接，并在该处承受载荷2P；现假定钢管壁厚和跨度的二分之一取定值，记为和。在设计中要解决的问题是选择钢管的直径d和桁架的高度H，使桁架在安全承受载荷的前提下，其重量最轻。

图3－12 两杆桁架

解析：

第一步，找出设计变量

根据题意，欲求桁架重量最轻，钢管直径d和桁架高度H是需要优化的两个设计变量。

第二步，确定约束条件

根据杆件压应力公式。若杆件材料的抗压强度为10⁵kg／cm²，则设计变量d和H的取值必须满足：

又若杆件压应力超过欧拉应力(压杆稳定的临界应力)，杆件可能发生屈曲，所以，还必须满足：

式中E为弹性模量，F₆为安全系数。

除上式(3－1)和式(3－2)两个约束条件外，假如因空间限制桁架高度必须满足18≤H≤25cm，则这也是约束条件。

第三步，建立目标函数

在两杆桁架设计中，目的是使桁架重量最轻，则：

为该设计的目标函数。式中W为桁架重量，ρ为钢管材料的比重。优化目标函数，一般总是使目标函数最小化，因为求最大的问题可以用改变函数正负号的方式变成求最小的问题。因此可将公式(3－3)写成：

至此，设计变量约束条件和目标函数都已建立，完成了两杆桁架的数学模型。

2．求解数学模型，寻求最佳设计方案

求解数学模型，就是在满足全部设计约束条件的前提下，寻求使方案指标最佳也就是目标函数值最小的那组设计变量值，在数学上也就是求极值的问题。方法很多，如线性规划、非线性规划、动态规划等，在此不一一列举。

至于找寻最佳设计方案，方法步骤有：

(1)制定目标要求。目标要求是衡量设计方案好坏程度的标准，一般说来，获得的设计方案只要达到预定的要求，就可认为是优化方案。

(2)选择最优化计算方法。通常，不同的数学模型，存在着不同的求解方法。现将主要方法排列如表3－3。

(3)编制迭代程序。由于求解数学模型一般都借助于电子计算机，所以，在确定最优化计算方法后，就要把它编成迭代程序，转换成计算机语言，用电子计算机进行循环计算，最终寻找目标函数的极值，求得优化结果。