总刚矩阵和总载矢量的形成

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第191页（1534字）

在求出各个单元的单刚矩阵〔k〕和单载矢量｛Q｝以后，如何形成总刚矩阵〔K〕和总载矢量｛R｝，通常采用编码法组集。

在采用最小势能原理推导有限元方程时，弹性应变能U应等于各单元应变能U_e之和，即

式中 ｛u｝=〔u₁u₂…u_n〕^T，为总体节点位移矢量；m为单元总数；n为总体自由度数；p为单元自由度数；｛q｝=(q₁q₂…q_p〕^T，为单元节点位移矢量。

设单元i的局部自由度编码1，2，…p相对应的总体自由度编码为i₁，i₂，…i_p。它可以由同一节点的同一自由度在单元内的局部自由度编码和结构的总体自由度编码对应关系确定，即q₁=u_1，q₂=u_i2，…q_p=u_ip。展开上式得：

由上列恒等式可知，单刚矩阵元素是形成总刚矩阵元素Kiris的一部分，因此，在组集时应将累加到总刚矩阵元素里。

同理，外力势能－W是各单元体力和面力势能－｛Q⁽ⁱ⁾｝^T｛q⁽ⁱ⁾｝之和，其表达式为：

由上列恒等式可知，单载矢量元素在组集时应累加到总载矢量元素R_l，里，

此外，若在某节点某坐标轴方向有集中载荷P_，而且该节点坐标轴方向的总体自由度是I，则此P值应直接累加到总载矢量元素R_l里，

由于总刚矩阵对称性和非零元素是带状稀疏的，为了节省内存和提高求解速度，一般通用有限元程序，都采用总刚矩阵上三角部分按列变带宽(或等带宽)和分块利用内外存交换的存贮方式。不同的存贮方式将影响编码法组集程序的编制，

通用有限元程序，在组集时一般根据给定位移边界条件修改总刚矩阵和总载矢量。

(1)给定位移是零值

在总刚矩阵中划去对应零位移自由度的行和列，同时在总体位移矢量和总载矢量中也把对应零位移自由度的元素划去。

在程序编制时，通常将对应于零位移边界条件的总体自由度编码置零值，其他总体自由度顺序编码。在组集时，对总体自由度编码为零值的单刚矩阵元素和总载矢量元素不累加。

(2)给定位移是非零值

采用消行修正法或对角线项扩大法处理。

消行修正法：若给定位移的边界条件是，则对总刚矩阵〔K〕和总载矢量｛R｝作如下修正。

当时(即i=1，2，…，j－1，j+1，…n)

当i=j时

总刚矩阵和总载矢量的其它元素保持不变，上标*表示修改后的元素。如果结构有m个给定位移，则按上述修正方法循环m次。

对角线项扩大法：若给定条件移位边界是u_l=或，则将总刚矩阵〔K〕中相应的对角元素K_ll增加很大倍数，即K_ll×A，A是一个大数如10¹⁰，总载矢量｛R｝中相应元素R_l改为，其余元素不变。