典型单元

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第179页（2326字）

有限单元法是将结构剖分成一维、二维或三维单元的集合体，先计算各单元的单刚矩阵和单载矢量，再纠集成总刚矩阵和总载矢量，然后求解。一维单元有杆单元、梁单元、管单元等，二维单元有平面应力膜单元、平面应变单元、轴对称单元、板弯曲单元、壳单元等，三维单元有四面体单元、六面体单元等，如图1．3－38所示。

表1．3－38 典型单元

3．2．1 杆单元和梁单元

(1)空间杆单元

见图1．3－40，空间杆单元可以直接用材料力学方法求单元节点位移与节点力的关系式，得到单刚矩阵。

｛F｝=〔k〕｛q｝

图1．3－40 空间杆单元

式中 单元节点力矢量｛F｝=〔F_xjF_yiF_eiF_xiF_yiF_zi〕^T单元节点位移矢量｛q｝=〔u₁uiω_iu_ju_jω_j〕T单刚矩阵

〔k〕=

其中，L_x=x₁－x_i；L_y=y_f－y₁：L_z=z_f－z₁；杆长；E为弹性模量；A为杆单元截面积。

(2)空间梁单元

见图1．3－41，空间梁单元(考虑剪切变形影响)可先计算局部坐标系单刚矩阵〔k〕。

图1．3－41 局部坐标系x，_，的空间梁单元

式中 单元节点力矢量M_xiM_yiM_ziF_xjF_yjF_ejM_xjM_yjM_ei〕_T

单元节点位移矢量

其中，A_y和A_z分别是沿和轴方向有效剪切面积；1_y和1_z分别是截面对中性轴和的惯性矩。

再将〔〕变换成总体坐标系单刚矩阵〔k〕，

〔k〕=〔λ〕^T〔k〕〔λ〕

其中，〔λ〕是单元坐标变换矩阵。

〔T〕是矢量变换矩阵；Cos(x，x)、cos(x，y)，cos(，z)分别是局部坐标轴与总体坐标轴x、y、z夹角的方向余弦，……其余类推。

总体坐标系单元节点载荷矢量｛Q｝与局部坐标系单元节点载荷矢量｛Q｝的关系是：

单元内非节点载荷，一般按表1．3－39所列计算公式换算成单元局部坐标系的固端力和固端力矩，再乘以－1(即反向)，得到单元局部坐标系的单元等效节点载荷。

表1．3－39 不同载荷的固端力和固端力矩计算公式

3．2．2 二维单元

(1)三节点三角形单元

三节点单元计算公式见表1．3－40和1．3－41．

表1．3－40 平面三节点单元计算公式

表1．3－41 轴对称三节点环形单元计算公式

(2)平面等参数单元

为了提高单元计算精度和适应结构复杂的边界几何图形，现代结构分析有限元程序中广泛采用曲边(或曲面)、高阶的等参数单元。

平面等参数单元常用的类型有4节点直边四边形单元、8节点曲边四边形单元和4～8节点可变节点四边形单元。它们在自然坐标系和总体坐标系的图形见图1．3－42。这些平面等参数单元的计算公式列于表1．3－42。

图1．8－42 平面等参数单元图形

表1．3－42 平面等参数单元计算公式

(3)三维等参数单元

常用的三维等参数单元有8节点直边六面体单元、20节点曲面六面体单元和8－21节点可变节点六面体单元。它们在自然坐标系和总体坐标系的图形见图1．3－43。这些三维等参数单元的计算公式列于表1．3－43，其中的高斯积分点坐标值和相应的加权因子列于表1．3－44。

图1．3－43 三维等参数单元图形

表1．3－43 三维等参数单元计算公式

表1．3－44 高斯积分点位置ε_i和对应的加权因子Wi