稳态性能
出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第402页（3113字）
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃信号、斜坡信号或加速度信号作用下进行测定或计算。如果当时间趋于无穷大时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则认为系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量，
4．2．1 稳态误差的定义
系统的误差定义为希望输出与实际输出之差，即
E(s)=C0(s)－C(s) (1．9－52)
式中 E(s)为一误差象函数；C0(s)为一希望(理想)的输出量象函数；C(s)为一实际输出量象函数。由图1．9－38可知C0(s)=R(s)μ(s)，式中μ(s)为理想系统传递函数．可以证明μ(s)=1／H(s)．于是，式(1．9－52)可写成
称为系统的误差传递函数。
图1．9－38 系统方框图
误差本身是时间t的函数，对式(1．9－53)进行拉氏反变换，可得误差原函数e(t)为
e(t)=L－1〔E(s)〕=L－1〔Φe(s)R(s)〕(1．9－54)
误差e(t)包含暂态分量与稳态分量两部分，如果系统是稳定的，过渡过程结束后，误差信号中的暂态分量必趋于零，剩下的只有稳态分量。因此，控制系统的稳态误差可定义为误差信号的稳态分量，以ess(t)表示，即
4．2．2 稳态误差的计算
用拉氏变换的终值定理计算稳态误差：根据拉氏变换的终值定理，有
式(1．9－55)的使用条件是SE(s)在〔s〕复平面的虚轴和右半部必须解析，即SE(s)的全部极点必须分布在〔S〕复平面的左半部，坐标原点的极点一般划入〔S〕复平面的左半部来考虑，
稳态误差与系统开环传递函数所含积分环节的个数密切相关，所以将系统按开环传递函数中所含积分环节的个数v分为零型(v=0)、Ⅰ型(v=1)、Ⅱ型(v=2)…系统。表1．9－6给出各型系统在阶跃、斜坡和加速度输入信号作用下的稳态误差计算公式。表中的公式是利用拉氏变换终值定理推导的，只适用于反馈通道的传递函数H(S)=H0(常数)的情况。
表1．9－6 稳态误差计算公式表
注：表中K为系统的开环增益。
综上所述可知：同一系统在不同的输入信号作用下，稳态误差不同；在相同输入信号作用下，系统的结构不同(即型别不同)，稳态误差也不同。系统的型别愈高(即v愈大)，稳态误差愈小；系统开环增益愈高，稳态误差愈小。尽管如此，在设计系统时也不可因单纯追求稳态误差小而提高系统型别和开环增益。因型别高或开环增益过大会造成系统不稳定。
采用终值定理只能求出系统在t→∞时的稳态误差，而不能反映稳态误差随时间变化的规律，且终值定理的使用范围也是有限的。而利用误差系数，则可研究任意时间函数信号作用于系统时系统的稳态误差，
将误差传递函数Φe(s)在S=0的邻域展成泰勒级数，并取前n项。即
于是误差E(s)可用下式表示：
对上式进行拉氏反变换，得
(称c0、c1、c2…cn为误差系数)。将误差系数代入式(1．9－57)，得
ess(t)=c0γ(t)+
+
+…+cnγn(t)(1．9－58)
如果误差传递函数Φe(s)是有理式，可用长除法把Φe(s)写成按S的升幂排列的级数，该级数的系数就是误差系数。
4．2．3 扰动引起的稳态误差
控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下，如负载力矩的变化、电源电压和频率的波动、组成元件的零位输出以及环境温度的变化等。因此，系统在扰动作用下的稳态误差反映了系统的抗干扰能力．
系统在扰动信号作用下的误差EN(s)为
EN(s)=CoN(s)－c(s)
其中CoN(s)为扰动引起的输出希望值。该值应为零。于是有
EN(s)=－C(s)=－ΦN(s)N(s)=ΦeN(s)N(s) (1．9－59)
式(1．9－59)中，ΦeN=EN(s)／N(s)，称为扰动作用下的误差传递函数。
扰动作用下的稳态误差也可以利用前面介绍的终值定理法和误差系数法计算。即
essn(t)=c0n(t)+c1n(t)+c2n(t)+…cnn(n)(t) (1．9－61)
式中 n(t)为扰动信号原函数；ct(i=0，1，…，n)是根据扰动作用下的误差传函ΦeN(s)求出的误差系数。
例1．9－17 系统如图1．9－39所示，试求该系统在输入信号γ(t)=t和扰动信号n(t)=0．1sint同时作用下的稳态误差。
图1．9－39 系统方框图
解：首先计算由输入信号单独作用时系统的稳态误差essr(t)．对输入而言，系统为Ⅰ型单位反馈控制系统，其开环增益K=10。由表1．9－8可知，系统由输入信号引起的稳态误差为
将ΦaN(s)的分子分母进行长除，可求得
c0=0，c1=－0．1，c2=－0．09，c3=0．019…
扰动及其各阶导数为
n(t)=0．1sjnf，n(t)=0．1cost．n(2)(t)=－0．1sint，n(s)(t)=－0．1cost…
则系统由扰动引起的稳态误差为
esan(t)=c0n(t)+
+c2n(2)(t)+c3n(8)(t)+…=－0．0119cost+0．009sint=0．015sin(t－52．9°)
由于线性系统满足叠加原理，系统在输入和扰动同时作用下的稳态误差为
ess(t)=essr(t)+essn(t)=0．1+0．015sin(t－52．9°)
系统最大误差为：0．1+0．015=0．115。