反馈控制系统的特性设计
出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第405页（9095字）
5．3．1 概述
系统控制特性设计的实质，就是系统数学模型的设计，即设计能满足给定性能(稳定性、响应快速性、稳态精度)指标要求，且在物理上可实现的数学模型。
被设计的系统，一般可分为两部分，一部分由执行元件和被控对象等构成。在系统设计时，根据要求选定这部分的元件或部件后，其数学模型就是固定的，因此称这部分是系统的不可变部分。另一部分由放大器等参数可调的元件构成，这部分称为系统中的可变部分。如果对系统性能要求不高，有时通过对可变部分参数的调节，如改变放大器增益，就可以满足要求。但在多数情况下，单由调节这些参数是无法使系统同时满足各项性能指标要求的。例如，提高放大器增益即增大开环增益，虽然可减小系统的稳态误差，但可能引起系统不稳定。因此，在系统设计中，常引入辅助装置来改善系统的性能。这种对系统性能的改善，称为对系统的校止(或补偿)，系统中引入的辅助装置称为校正装置(或补偿装置)。
由上述可知，当系统中不可变部分的元、部件选定后，则系统数学模型中就有一部分已经确定了。因此，为使系统满足给定性能指标的特性设计，就是确定系统可变部分和校正装置的数学模型。在经典控制理论中，确定校正装置数学模型常用的方法是频率响应法。由于对数坐标图绘制简单、方便，所以工程上多采用对数坐标图设计串联校正装置的数学模型。
对数频率特性曲线的形状，可以表征系统的性能。对于最小相位系统，对数幅频特性和对数相频特性一一对应，见图1．9－40，因此，研究最小相位系统性能时，只要研究对数幅频特性曲线即可。
图1．9－40 对数幅频特性斜率与相位的关系
在开环对数幅频特性曲线的低频段，可以了解开环传递函数中所含积分环节的个数v和开环增益K的数值。因此，曲线低频段的形状表征了闭环系统的稳态性能；在开环对数幅频特性曲线的中频段，可以了解幅值穿越频率ω。的大小和对数幅频特性穿越零分贝线时的斜率(该斜率决定着系统的稳定性，由图1．9－40可以推知，若对数幅频特性以－20dB／dec斜率穿越零分贝线，且该斜率占有一定的频带宽度，系统肯定是稳定的)。而开环对数幅频特性曲线中频段的形状表征了系统的响应快速性和稳定性，其高频段的形状表征了系统的复杂性和滤波性能。
用频率法对系统进行校正，就是在系统中加入频率特性形状合适的校正装置，使系统开环频率特性曲线变成所希望的形状，即低频段增益充分大，以保证稳态误差要求；中频段的斜率应等于一20dB／dec，并占据充分宽的频带，以保证系统具有足够的相角裕量；高频段幅值应尽快衰减，以使噪声影响减到最小程度。由于一般系统高频段的形状都能满足要求，所以对系统进行校正时，可保持高频段形状不变。
5．3．2 校正网络的设计
工程中常用的校正方式有：串联校正和并联校正，校正装置串联在系统的前向通路中称为串联校正，如图1．9－41所示。图中，Ge(s)为校正装置的传递函数。为了减小功率损耗，串联校正装置一般都放在前向通道的前端，即低功率部分。串联校正按校正环节的性质又可分为相位超前校正、相位滞后校正和相位滞后一超前校正。并联校正按校正环节Ge(s)的并联方式可分为反馈校正，如图1．9－42所示；顺馈校正，如图1．9－43所示。
图1．9－41 串联校正
图1．9－42 反馈校正
图1．9－43 顺馈校正
(1)串联相位超前校正
图1．9－44所示为RC超前网络。若输入信号源的内阻为零，输出端负载阻抗为无穷大，则网络的传递函数为
式中
，称为衰减系数
根据式(1．9－62)绘制的网络对数频率特性曲线如图1．9－45所示。由图可知，该网络输出信号的相位角比输入信号的相位角超前，称为相位超前网络。从图中可以看出，产生最大超前相角的频率ωm是1／aT和1／T的几何中点。ωm可通过下式计算求得：
图1．9－44 RC超前网络
图1．9－45 超前网络的对数坐标图
例1．9－18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试用频率法设计一串联超前校正网络，使系统满足：1．在斜坡信号v(t)=At作用下，稳态误差小于0．05A；2．相角裕量γc为45°。
①根据未校正系统是Ⅰ型系统和稳态误差要求，可求出系统的开环增益为
②根据确定的K值绘制未校正系统的开环对数频率特性曲线，如图1．9－46中实线所示。由该图可查出未校正系统的幅值穿越频率ωc1=4．4s－1相角裕量γc1=12°45′，kg=∞dB。
图1．9－46 校正前后系统的开环对数坐标图
③确定超前网络应提供的最大超前相角φm。仅从要求的相角裕量和未校正系统现有相角裕量来看，需要的最大超前相角为γe2－γc1=45°－12°45′=32°15′。但实际应由超前网络提供的最大超前相角应大于该值。因为系统加入超前校正网络后，幅值穿越频率会右移，即补偿后新的幅值穿越频率ωc2大于补偿前的幅值穿越频率ωo1，其差值为arg〔G(jωc1)－G(jωc1)〕，因此，由超前网络提供的最大超前相角应是：
φc=γc2－γc2+arg〔G(jωe1)－G(jωc2)〕一般取arg〔G(jωc1)－G(jωc2)〕==3°～5°，此处取为3°45′，则可得
φm=32°15′+3°45′=36°
④确定超前正装置的传递函数：
由式 
可求出衰减系数a=3．85。
为了充分利用超前网络的最大超前相角，选ωm和校正后的幅值穿越频率ωc2相等，以确定ωc2。由此可得关系式
201g|G(jω2)|+10lga=0
201g|G(jωc2)|=－10lga=－10lg3．85
=－5．9(dB)
由图1．9－46校正前曲线可查出幅值为－5．9dB时的频率为6．2s－1，即：ωc2=ωm=6．2s－1。
根据式(1．9－62)可求出超前网络的参数T为
校正网络的传递函数Gc(s)为：
为了补偿超前校正造成的幅值衰减，须将放大器增益提高3．85倍。
校正后系统的开环传递函数为：
根据上式绘制校正后系统的对数频率特性曲线如图1．9－46中虚线所示。由图中可查出γc2=45°，可以满足要求。
校正网络的实际参数根据式(1．9－63)可求出。aT=R1C。若取C=1μF，则
上例表明，系统经串联超前校正后，中频段斜率变为－20dB／dec，并占有一定的频带宽度，从而使相角裕量增大，超调量下降。同时，幅值穿越频率也由原来的4．4s－1增加到6．2s－1，从而使系统的响应速度加快。
(2)串联相位滞后校正
图1．9－47所示网络中，若输入信号源的内阻为零，负载阻抗为无穷大，则网络的传递函数为
T=(R1+R2)C。根据式(1．9－64)绘制的对数坐标图如图1．9－48所示。由图可见，该网络输出信号的相位角比输入信号的相位角滞后，因而称该网络为相位滞后网络。相位滞后网络的最大滞后相角φm发生在1／T与1／bT的几何中点ωm处。
图1．9－47 RC滞后网络
图1．9－48 滞后网络的对数坐标图
采用滞后网络对系统进行校正，不是利用其相角滞后特性，而是利用其高频幅值衰减特性使原系统获得足够大的相角裕量，以提高系统的相对稳定性．当系统的动态性能满足要求时，也可利用滞后网络改善系统的稳态性能。利用滞后网络校正系统时，b值不宜取得过小，一般取0．1左右。
例1．9－19 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试设计一串联校正装置，使系统满足：1．在单位斜坡信号作用下，稳态误差css=0．02；2．校正后的相角裕量γc2=40°；3．校正后幅值穿越频率ωc2≥4s－1。
①根据稳态误差要求，确定开环增益K值。未校正系统为“Ⅰ”型单位反馈系统，故ess=1／K，由此可求出系统的开环增益为
②绘制K=50时未校正系统的开环对数频率特性曲线，如图1．9－49中实线所示，由该图可查出校正前幅值穿越频率和相稳定裕量分别为ωc1=21s－1、γei=－20°53′。显然，系统不稳定。由于在ωc1附近两惯性环节转角频率较接近，系统相角迅速减小，并且由于ωc1=21s－1，远远大于要求值4，所以该系统采用滞后校正是合适的。
③按下式选择校正后系统的幅值穿越频率ωc2
γc2=180°+arg〔G(jωc2)〕+arg〔Gc(jωc2)〕
式中 γe2为校正后系统应具有的相角裕量；arg〔Ge(jωc2)〕为滞后网络在新的幅值穿越频率ωc2处的相角滞后值。该值可估计为－5°～－12°。这里取arg〔Gc(jωe2)〕=－5°，则要求的相角裕量变成γc2+5°=45°。从未校正曲线可查出与此相角裕量对应的幅值穿越频率大约为5．5，即ωc2=5．5s－1。
④确定滞后网络参数b、T。如果保证校正后系统的幅值穿越频率为ωc2=5．5s－1，则必须使滞后网络的衰减量201gb在数值上等于未校正系统在新幅值穿越频率ωc2上的对数幅值201g|G(jωc2)|，即201gb+201g|G(jωc2)|=0，则201gb=－18dB，于是可求出b=0．126。
采用滞后网络进行校正时，主要是利用其高频幅值衰减特性，为了避免最大滞后相角发生在校正后的幅值穿越频率ωc2附近，引起动态性能恶化，选择滞后网络参数时，应使滞后网络中较高的转角频率1／bT远离ωc2。一般取1／bT=ωc2／10。例中，1／bT=ωc2／10=5．5／10=0．55．由此可求出T=14．5s。于是可写出滞后网络的传递函数为
⑤绘制校正后系统的对数频率特性曲线，检查各项性能指标是否满足要求。校正后系统的开环传递函数为
根据上式绘制的校正后系统的开环对数频率特性曲线如图1．9－49中虚线所示。由该曲线可查出校正后系统的相角裕量γc2=40°，幅值穿越频率ωc2为5．5s－1，均可满足要求。
图1．9－49 校正前后系统的对数坐标图
上例表明，对于选定的开环增益K，采用滞后校正后，其幅值穿越频率减小，相角裕量变大，从而提高了系统的稳定程度和抑制高频噪声的能力，但降低了系统的响应快速性。采用串联相位滞后校正，既能够提高系统的稳态精度，而又基本上不改变系统的动态性能。以图1．9－49为例，如果将已校正系统对数幅频特性曲线向上平移18dB，则校正前后的相角裕量和幅值穿越频率基本不变，即动态性能基本不变，而系统开环增益却提高7．94倍，即提高了系统的稳态精度。由此可知，若未校正系统动态性能已满足要求，而稳态性能不满足要求时，可利用串联相位滞后校正提高系统的稳态精度，而保持其动态性能基本不变。
(3)串联滞后——超前校正
滞后——超前校正具有响应速度快、超调量小和抑制高频噪声性能好等优点。当未校正系统不稳定，而且对相角裕量、响应速度及稳态精度要求都较高时，可采用滞后——超前校正。
串联滞后——超前校正可用图1．9－47所示的RC滞后网络经隔离放大器，再串接图1．9－44所示的RC超前网络构成。但为了减少元件，通常采用如图1．9－50所示具有滞后——超前相位特性的网络。该网络的传递函数为
式中 T1=R1C1；T2=R2C2；T12=R1C2。
图1．9－50 滞后——超前网络
设式(1．9－65)分母有两个不相等的负实根，则式(1．9－65)可写成
比较式(1．9－65)和式(1．9－66)，可得
T1T2=TaTb T1+T2+T12=Ta+T，
设Ta＜T1、T1＜T2，并设T1／Ta=Tb／T2=β(β＞1)，则
Ta=T1／β；Tp=βT2
于是无源滞后——超前网络的传递函数可写为
根据式1．9－67绘制的校正网络的对数坐标图，如图1．9－51所示。
图1．9－51 滞后——超前网络对数坐标图
利用滞后——超前网络对系统进行校正，一般有固定的步骤。通常是将设计相位滞后装置和设计相位超前装置两种方法结合起来，并用逐步试探法找出比较满意的设计方案。
例1．9－20 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
试用串联滞后——超前校正使系统满足：1．在单位斜坡信号作用下的稳态误差为0．1；2．相角裕量γc2=50°；3．幅值稳定裕量kg=10dB。
①由开环传递函数可知，系统的开环增益K=K1／2．校正前系统为Ⅰ型系统，又由稳态误差要求，可求出K=10．
②绘制K=10时未校正系统的对数频率特性曲线，如图1．9－52中实线①所示，由该曲线可查出校正前系统的相稳定裕量γc1=－32°，系统不稳定。
图1．9－52 滞后——超前校正前后系统的对数坐标图
③确定滞后——超前校正装置的传递函数：
试选未校正系统相位滞后为－180°时的频率ω=1．5为校正后系统的幅值穿越频率ωc2，则校正后在频率处的相位裕量应有50°。选择滞后部分的较高的转折频率ω2=ωc2／10=1．5／10=0．15；取β=10，则滞后部分的较低的转折频率为ω2／β=0．015。于是可得滞后部分的传递函数为
由图1．9－52可查出，在校正后系统的幅值穿越频率ωc2=1．5处未校正曲线的幅值为201g|G(jωc2)|=13dB。因此，滞后——超前校正装置在ω=1．5处的对数幅值应为－13dB。过横坐标为1．5s－1、纵坐标为－13dB这一点画一条斜率为20dB／dec的直线，该直线与零分贝线和－20分贝线的交点ω=7和ω=0．7分别为超前部分的较高的转折频率βω1和较低的转折频率ω1(参看图1．9－52中校正装置的对数幅频特性曲线Lc)。于是可写出校正装置超前部分的传递函数Gc2(s)为
滞后——超前校正装置的传递函数为
④绘制校正后系统的对数频率特性曲线，并检查各项性能指标是否满足要求。校正后系统的对数频率特性曲线如图1．9－52中虚线②所示。由该曲线可知，校正后γc2=50°，kg2=16dB，均可满足要求。
(4)P、I、D校正器
在自动化设备中，常采用能够实现比例、微分、积分等控制作用的控制器。这些控制器多数是电动的或气动的、液动的。由比例(P)单元Kp、微分(D)单元TdS及积分(I)单元1／TtS可以组成PD、PI及PID三种校正器，以实现超前、滞后、滞后——超前的校正作用。
PD校正又称比例——微分校正，其传递函数为
PD校正器的作用相当于相位超前校正。
PI校正又称比例——积分校正，其传递函数为
PI校正器的作用相当于相位滞后校正。
PID校正又称比例——微分——积分校正，其传递函数为
PID校正器的作用相当于滞后——超前校正。
在实际应用中，上述三种校正器的Kp、Td、Tt等参数都是可调的。利用图1．9－53所示有源网络可分别实现PD、PI、PID控制。
图1．9－53 实现PD、PI和PID的校正网络
(5)反馈校正
反馈校正的基本原理是，用反馈校正装置包围未校正系统中对动态性能有重大影响的环节，形成局部反馈回路，以改善系统的性能。图1．9－42所示反馈校正系统的开环传递函数为
当|G2(s)Gc(s)|》1时，局部反馈部分的等效传递函数为
即反馈校正后系统的特性几乎与被反馈校正装置包围的环节无关。而当|G2(s)Gc(s)|《1时，G(s)≈G1(s)G2(s)，即此时已校正系统与未校正系统特性一致。因此，适当选取反馈校正装置Ge(s)的参数，可以使已校正系统特性发生期望的变化。在工程中进行系统设计时往往把|G2(s)Gc(s)|》1的条件简化为|G2(s)Gc(s)|＞1。简化的结果，虽然会产生一定的误差，但该误差属于工程允许误差范围之内。
反馈校正的特点是：被局部反馈所包围部分的元件的非线性或参数的波动对控制系统性能的影响可以忽略；反馈校正(一般指负反馈校正)有减小被包围环节时间常数的能力，从而有助于加快整个系统的响应速度，此外，进行反馈校正时，应注意局部反馈回路的稳定。如果反馈校正装置参数选择不当，而使系统局部反馈回路失去稳定，则整个系统也难以稳定可靠地工作，且不便于对系统进行调试。