振动系统的模态分析

出处：按学科分类—工业技术 北京出版社《现代综合机械设计手册上》第719页（2141字）

模态分析是研究复杂机械和工程结构振动问题的重要模型化研究方法。

机械结构可以看成为单自由度或者多自由度的振动系统。模态是振动系统特性的一种表征，指结构在自由振动时所具有的若干阶固有频率的基本振型。结构在任意初始条件和外载作用下所产生的振动，都可由这些基本振型振动的线性组合而得到。

模态参量是表示模态特征的一组数值。对每阶振动模态，需要确定包括固有频率、固有振型、模态质量、模态刚度和阻尼比等一系列模态参数。所谓模态分析，就是建立振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程。

5．2．1 机械导纳

为了研究机械系统的振动特性，通常将实际系统简化成由质量元件、弹簧元件和阻尼元件所组成的振动力学模型，图3．1－12所示是简单的单自由度系统的振动模型，当该系统受到周期性往复激发力f(t)的作用时，便会产生在平衡位置附近作往复运动的振动。其强迫振动方程为

mx+cx+kx=f(t)

式中 m为质量(kg)；k为弹簧刚度(N／m)；c为阻尼系数(N·s／m)；x为位移(m)；f(t)为激振力(N)。

图3．1－12 单自由度系统振动模型

机械阻抗可定义为简谐振动系统某一点的激振力与同一点或不同点的响应(位移、速度、加速度)的输出量之比。

位移阻抗 =

速度阻抗 =

加速度阻抗 =

式中 ω为激振力角频率；F为激振力振幅；X、V、A分别为响应的位移、速度和加速度的复振幅。

机械阻抗的倒数称为机械导纳，定义为简谐振动系统某点的位移、速度或加速度与同一点或不同点的激发力之比。它表达系统的输出与输入之间数学关系，也叫做传递函数H(ω)。

位移导纳

速度导纳

加速度导纳

当激发点与响应点为同一点时，以上阻抗或导纳称为原点阻抗或原点导纳；不同点时称为跨点阻抗或跨点导纳。表3．1－12和表3．1－13分别列出单自由度系统和多自由度系统的位移导纳表达式及有关曲线。

表3．1－12 单自由度系统的机械导纳

表中：λ为频率比：λ==ω／ω_n；ω为激振力角频率(s^－1)：，为系统固有频率；ζ=C／Co，为阻尼比：Co=2mωn(N·s／m)、为临界阻尼系数；m为质量(kg)；k为刚度系数(N／m)；C为阻尼系数(N·s／m)。

表3．1－13 多自由度系统的机械导纳

表中：p(脚注)为激振点：ι(脚注)为测试点：N为自由度数：Φ_ll为ι点第i阶振型：Φ_lp为p点第i阶振型，k_l为第i阶振动的刚度：λ_l为第i阶振动的频率比；ζ_l为第i阶振动的阻尼比。

机械导纳可以理论计算，也可以实验测定。但由于实际的机械系统通常都十分复杂，故多数用实验方法确定。实验时，使系统在给定激振力下振动，测量相应的输出响应，再通过分析处理，就可求得机械导纳(传递函数)。按照激振方式，有稳态正弦激振测试法、瞬态激振测试法和随机激振测试法等。

5．2．2 模态参数识别

根据模态参数与系统的机械导纳(传递函数)之间的关系，通过测量系统的传递函数来求解模态参数的过程，称为模态参数识别。表3．1－14给出了单自由度系统模态识别的作图法。对于多自由度系统，当阻尼很小(ζλ《0．5)、各阶振动固有频率之间相隔较远时，各阶模态相互影响很小，称模态稀疏情况。这时可取测点ι处的等效刚度为k_el=k_l／φ_llφ_pl，将系统的各阶频响函数H_l(ω)看成具有不同振动固有频率的单自由度系统，利用前述作图法，进行模态参数识别。

表3．1－14 单自由度系统模态参数识别的作图法

模态参数识别的作图法，其优点是简便、直观，但精度低、不能排除外噪干扰，它的结果可作为精确分析的初始值。在实际的机械结构多自由度系统中，情况十分复杂，一般要求进行更为精确的分析计算，此时则应采用现已有的相应的比较成熟的软件。